Jak rozwiązać równanie kwadratowe?

Dlaczego metoda z deltą działa? I czy to jedyna metoda na rozwiązanie równania kwadratowego na maturze?

• 1.09.2025
• 15 min czytania

Spis treści

Jakiś czas temu ponarzekałem sobie tutaj, na to, że w szkole słabo uczy się równań kwadratowych, a na maturze pojawiają się wybitnie słabe zadania z tego tematu. Udało mi się znaleźć trochę czasu, żeby spróbować to nieco naprawić. W tym wpisie prezentuję jak można samemu dojść do słynnych wzorów z deltą. Kto wie, być może uda się ten materiał kiedyś wypozycjonować wysoko, żeby zainteresowany uczeń do tego dotarł. Zauważyłem bowiem w statystykach, że część osób trafia na mój blog właśnie wyszukując frazę równanie kwadratowe. Dotychczas te osoby odchodziły zapewne raczej niezadowolone, co najwyżej zgadzając się z moim rantem apropos zadań maturalnych. Może teraz to się zmieni. Taki mały prezent ode mnie dla uczniów na rozpoczęcie roku szkolnego.

Co to jest równanie kwadratowe?

Równanie kwadratowe to nic innego jak równanie postaci $$ax^2 + bx + c = 0$$ Należy to rozumieć tak, że $a, b, c$ to ustalone, konkretne liczby, zaś $x$ jest niewiadomą, którą chcemy obliczyć. A zatem takim równaniem jest na przykład $3x^2 + 5x - 42 = 0$ (w tym przypadku: $a = 3$, $b = 5$, $c = -42$).

Przykłady wraz z rozwiązaniami

Łatwy przypadek: $a = 0$

Zacznijmy od przypadku, w którym $a = 0$. Większość źródeł (z którymi oczywiście nie dyskutuję) podaje, że wtedy nie jest to równanie kwadratowe (tzn. że do definicji podanej przeze mnie w poprzedniej sekcji należy dodać, że $a \neq 0$). Istotnie, zero razy $x^2$ to dalej zero, nieważne ile równy jest $x$, a więc wtedy mamy do czynienia co najwyżej z równaniem liniowym. Pomimo tego, przypomnijmy sobie (króciutko) jak się je rozwiązuje.

Rozważmy przykład $2x + 16 = 0$. Odejmujemy od obu stron równania $16$ (zdejmujemy z lewej i prawej szalki wagi tyle samo, więc nie oszukujemy) i otrzymujemy $2x = -16$. Oczywiście możemy podzielić obie strony równości przez $2$ (wziąć połowę lewej strony i połowę prawej strony, nadal powinno być tyle samo). Po lewej stronie równości będziemy mieli $x$, a po prawej $8$ i to jest rozwiązanie równania.

To oczywiście nie jest przypadek, że się nam udało. Każde równanie postaci $$bx + c = 0$$ można tak rozwiązać. Zawsze będziemy chcieli odjąć od obu stron równania $c$ i zawsze będziemy chcieli podzielić przez $b$ (oczywiście tutaj zakładamy, że $b \neq 0$, inaczej nie mamy już nic do zrobienia, bo nie mamy żadnej zmiennej). Zawsze więc otrzymamy rozwiązanie $$x = -\frac{c}{b}$$

To jest oczywiście bardzo łatwe, ale chciałbym zwrócić uwagę na pewien kontrast. Z jakichś przyczyn tego typu wzorów (na rozwiązywanie równań liniowych) nie uczymy się w szkole. Zapewne dlatego, że cała metoda jest tak prosta, że łatwiej ją zrozumieć i wykonać niż zapamiętać wzór. Co takiego szczególnego jest w równaniu kwadratowym, że nie można w dokładnie taki sam sposób jak tutaj zaprezentować do niego rozwiązania? Zaraz się przekonamy, gdy przejdziemy do nieco trudniejszych przykładów.

Łatwy przypadek: $b = 0$

Od teraz już do końca zakładamy, że mamy do czynienia z prawdziwym równaniem kwadratowym (w którym $a \neq 0$), a więc przykładowo nie będzie ryzyka dzielenia przez $0$, gdy będziemy chcieli podzielić przez $a$). Rozważmy teraz przypadek, gdy nie ma składnika $bx$ w naszym równaniu kwadratowym, tzn. przypadek równania $ax^2 + c = 0$. Możemy zacząć dokładnie tak samo jak w poprzednim przypadku, tzn. przekształcamy równanie do postaci $ax^2 = -c$, a potem $x^2 = -\frac{c}{a}$.

Teraz niektórzy by powiedzieli “spierwiastkujmy obie strony równania” i prawie by mieli rację. Ja raczej myślę w kategoriach “jaka liczba podniesiona do kwadratu daje w wyniku prawą stronę równania?”. W świecie liczb rzeczywistych (w którym obracają się licealiści), równania postaci $x^2 = \clubsuit$ mają:

• dwa rozwiązania: $x = \pm \sqrt{\clubsuit}$, gdy $\clubsuit > 0$,
• jedno rozwiązanie: $x = 0$, gdy $\clubsuit = 0$,
• oraz zero rozwiązań, gdy $\clubsuit < 0$.

Istotnie, do czasu, gdy nie pozna się liczb zespolonych, trudno wyobrazić sobie rozwiązanie np. równania $x^2 = -9$. Zarówno ujemne jak i dodatnie liczby podniesione do kwadratu dają dodatnie wyniki. A jedyną szansą na zero jest podnieść do kwadratu zero i można to zrobić tylko na jeden sposób. To już trochę przypomina sytuację znaną ze szkoły. Tam też równanie kwadratowe (w ogólnej postaci) ma zero, jedno lub dwa rozwiązania. Zaraz do tego dojdziemy.

Ponownie, nikt nie każe nam uczyć się wzoru $$x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$$ do rozwiązywania takich równań. Ta metoda jest na tyle łatwa, że rozwiązując przykładowo $2x^2 - 18 = 0$, raczej pomyślimy o przekształcaniu do $2x^2 = 18$, potem do $x^2 = 9$, a na końcu $x = \pm 3$ zamiast szukać jakichś wzorów w tablicach.

Łatwy przypadek: $c = 0$

Rozważmy teraz równanie postaci $$ax^2 + bx = 0$$ które też łatwo rozwiązać, choć nieco inaczej. Z lewej strony równania wyciągamy $x$ przed nawias i otrzymujemy $x(ax + b) = 0$. To wyrażenie jest iloczynem (mnożeniem) dwóch czynników: liczby $x$ oraz wyrażenia $ax + b$. Co trzeba zrobić, żeby wynik tego mnożenia wyszedł $0$? Jeden z tych czynników powinien być równy $0$: będzie to $x$ lub $ax + b$. A więc dostajemy, że $x = 0$ lub $x = -\frac{b}{a}$.

Ponownie, w starciu z równaniem np. $2x^2 + 9x = 0$, raczej doradzałbym próbować metodą z powyższego akapitu niż spamiętywać nowe wzory: przekształcamy do $x(2x + 9) = 0$ i wnioskujemy, że $x = 0$ lub $2x + 9 = 0$, czyli $2x = -9$, więc $x = -\frac{9}{2}$.

Minimalnie trudniejszy przypadek

W tym przypadku sporo pomogło nam zapisanie równania w postaci mnożenia (iloczynu) kilku czynników. Jeżeli bowiem po prawej stronie równania jest zero, a po lewej stronie jest tylko iloczyn (bez żadnego dodawania etc.), to łatwo powiedzieć, że któryś ze składników tego iloczynu musi być wyzerowany, żeby lewa strona równania była taka sama jak prawa. To prowadzi nas do postaci iloczynowej, która też prezentowana jest w szkole.

$$a(x - x_1)(x - x_2) = 0$$

Zauważmy, że gdyby udało nam znaleźć metodę, która zawsze sprowadza oryginalne równanie do powyższej postaci, to od razu byśmy mieli, że rozwiązaniami równania są $x_1$ oraz $x_2$. Czynnik $a$ w takim przypadku nic nie zmienia, zawsze można się go też łatwo pozbyć z równania w zwykłej (mówiąc po “matematycznemu”: ogólnej) postaci, po prostu dzieląc obie strony równania przez $a$. Minusy przy $x_1$ oraz $x_2$ są tylko po to, żeby ich już nie mieć przy rozwiązaniach. Gdyby bowiem sprowadzić równanie do postaci $a(x + x_1)(x + x_2) = 0$ to byłoby równie łatwo, tylko że wtedy rozwiązaniami byłyby $-x_1$ oraz $-x_2$, bo chcemy wyzerować wyrażenia $x + x_1$ oraz $x + x_2$. Inaczej mówiąc: zawsze możemy mieć uczciwą postać iloczynową z tej “prawie iloczynowej” jak napiszemy $a(x - (-x_1))(x - (-x_2)) = 0$. Z tej postaci też widać, że $-x_1$ oraz $-x_2$ są rozwiązaniami równania $a(x + x_1)(x + x_2) = 0$.

Czasami znalezienie takiego rozbicia na iloczyn dwóch czynników nie jest nawet aż takie (o ile w ogóle) trudne. Rozważmy przykład: $$2x^2 + 10x + 12 = 0$$ Nieco denerwuje $a \neq 1$, więc możemy podzielić obie strony równania przez $2$. Dostaniemy wtedy: $$x^2 + 5x + 6 = 0$$ Celujemy w zapisanie tego samego w postaci $(x + x_1)(x + x_2) = 0$. Przypomnę, że $x$ to jest ta sama zmienna $x$ co zawsze (ta, którą chcemy ustalić w równaniu), a chcemy żeby $x_1, x_2$ to były po prostu jakieś konkretne liczby uzyskane na podstawie $a, b, c$ z postaci $ax^2 + bx + c$. Czyli, w tym przykładzie, dają nam: $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$ i chcą, żebyśmy ustalili $x_1$ oraz $x_2$, czyli zamiast zapisywać $x^2 + 5x + 6 = 0$, żeby zapisać $(x + 2)(x + 3) = 0$. Oj, właśnie wygadałem rozwiązanie. Ale zaraz do niego dojdziemy.

Przyjrzyjmy się najpierw tej docelowej postaci: $$(x + x_1)(x + x_2) = x^2 + x_1 x + x_2 x + x_1 x_2 = 1 \cdot x^2 + (x_1 + x_2) \cdot x + x_1 x_2 = 0$$ Starałem się tym zapisem tutaj uwypuklić, że tak naprawdę zapisaliśmy to docelowe równanie w postaci ogólnej: $a = 1$, $b = x_1 + x_2$, zaś $c = x_1 x_2$. A więc: mając równanie postaci $x^2 + bx + c = 0$, chcemy zgadnąć takie liczby $x_1$ oraz $x_2$, żeby $x_1 + x_2 = b$, zaś $x_1 x_2 = c$. Wracając do przykładu $x^2 + 5x + 6 = 0$: czy trudno znaleźć dwie liczby, które dają sumę $5$, a których iloczyn jest $6$? Moim zdaniem na myśl od razu przychodzą liczby $2$ i $3$, które wcześniej zdradziłem. Bingo! Właśnie, taką metodą “od końca”, udało nam się ustalić, że równanie $x^2 + 5x + 6 = 0$ można zapisać równoważnie jako $(x + 2)(x + 3) = 0$. Z tej drugiej postaci oczywiście wynikają rozwiązania równania: $x_1 = -2$ oraz $x_2 = -3$.

Oczywiście, nie zawsze będzie tak łatwo, że bez problemu “zgadniemy” sobie rozwiązanie, ale nie oznacza to, że nie warto próbować (szczególnie, gdy spodziewamy się, że rozwiązania muszą być np. liczbami całkowitymi). Ta metoda jest też całkiem niezła, gdy uda nam się zgadnąć (albo w zadaniu będzie podane) jedno z rozwiązań i będziemy chcieli wyznaczyć drugie rozwiązanie. Bardziej uważni mogą tutaj nawet dostrzec zakamuflowaną postać wzorów Viete’a.

Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia

Zanim ostatecznie wyjaśnię kwestię równań kwadratowych, przydatne okażą się wzory skróconego mnożenia, a dokładniej jeden z nich. Zapiszę go od razu w “skamuflowanej” formie, która będzie nam za moment potrzebna.

$$(\heartsuit x + \diamondsuit)^2 = \heartsuit^2 x^2 + 2 \heartsuit \diamondsuit x + \diamondsuit^2$$

Z tego co pamiętam, w szkole pisało się $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, ale ja już zarezerwowałem literki $a$ i $b$ (a nawet jeszcze $c$) do czegoś innego (do współczynników z postaci ogólnej równania kwadratowego). Tak czy siak, wygląda na to, że upłynie nam kolejny dzień z potrzebą użycia wzorów skróconego mnożenia.

Trudniejszy przypadek

Spróbujmy rozważyć ostatni już (trudny) przykład, żeby zaprezentować metodę w ogólności i dotrzymać obietnicy wyprowadzenia wzorów.

$$2x^2 - 5x - 12 = 0$$

Będziemy próbowali zapisać to równanie w postaci:

$$(\heartsuit x + \diamondsuit)^2 = \spadesuit$$

Mikro-wtręt dla mniej doświadczonych: to jest w gruncie rzeczy zastosowanie wzoru skróconego mnożenia $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ znanego ze szkoły, ale w “ten trudniejszy sposób”. Zamiast próbować rozwijać $(a + b)^2$ na sumę trzech składników, my już mamy sumę trzech składników i próbujemy się dobrze im przypatrzeć, żeby zauważyć w nich składniki $a^2$, $2ab$ oraz $b^2$. Wszystko w takim celu, żeby zwinąć tę sumę do postaci $(a + b)^2$.

Oczywiście $\heartsuit, \diamondsuit, \spadesuit$ to konkretne liczby, które musimy jakoś obliczyć na podstawie tych liczb, które dostaliśmy. W tym przykładzie są to: $a = 2$, $b = -5$, $c = -12$. Skąd taki pomysł? Otóż gdy nam się uda, to po lewej stronie nowej równości będziemy mieli “coś do kwadratu”, a po prawej stronie będzie jakaś konkretna liczba $\spadesuit$. A zatem:

• jeżeli $\spadesuit < 0$, to nie ma rozwiązań,
• jeżeli $\spadesuit = 0$, to musimy zrobić, żeby $\heartsuit x + \diamondsuit = 0$, a więc jest jedno rozwiązanie $x = -\frac{\diamondsuit}{\heartsuit}$,
• jeżeli $\spadesuit > 0$, to chcemy, żeby $\heartsuit x + \diamondsuit = \pm \sqrt{\spadesuit}$, a więc, żeby $x = -\frac{\diamondsuit \pm \sqrt{\spadesuit}}{\heartsuit}$ (dwa rozwiązania).

To już trochę przypomina wzory znajome ze szkoły. Ale skąd wziąć, ile powinny być równe $\heartsuit$, $\diamondsuit$ oraz $\spadesuit$?

Wróćmy do przykładu i skupmy się na porównaniu docelowej postaci równania z tym co mamy podane na starcie. Zapomnijmy na moment o $\spadesuit$. Patrząc na sprawę trochę zbyt optymistycznie, chciałoby się zrobić, żeby:

$$(\heartsuit x + \diamondsuit)^2 = \heartsuit^2 x^2 + 2 \heartsuit \diamondsuit x + \diamondsuit^2 = 2x^2 - 5x - 12$$

Ta równość powinna działać dla dowolnego $x$, a więc musi tak być, że współczynnik, który stoi przy $x^2$ po środku i po prawej musi się zgadzać. Podobnie współczynnik stojący przy $x$ i składnik, który nie stoi ani przy $x$ ani przy $x^2$.

Po prawej stronie równania przy $x^2$ mamy $2$, zaś na środku przy $x^2$ stoi $\heartsuit^2$. Przyjmijmy więc $\heartsuit = \sqrt{2}$ (równie dobrze moglibyśmy przyjąć $-\sqrt{2}$).

Po prawej stronie równania przy $x$ mamy $-5$, zaś na środku przy $x$ stoi $2 \heartsuit \diamondsuit$. Chcemy, żeby zachodziła równość, a więc chcemy $2 \heartsuit \diamondsuit = -5$. Skoro znamy już $\heartsuit$, to nie tak trudno wyznaczyć, że $\diamondsuit = \frac{-5}{2 \heartsuit} = \frac{-5}{2 \sqrt{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{4}$ (usunęliśmy przy okazji niewymierność z mianownika, bo z jakichś przyczyn w szkole się tego nie lubi). Nie jest to jakaś “równa” liczba, ale dało się to policzyć i widać, że tak się będzie dało w każdym przypadku, a nie tylko dlatego, że dobrałem liczby, żeby mi było wygodnie.

Cała lewa strona równości została już ustalona: $$(\heartsuit x + \diamondsuit)^2 = \left(\sqrt{2} x + \left(-\frac{5\sqrt{2}}{4}\right)\right)^2 = 2x^2 - 5x + \diamondsuit^2 = 2x^2 - 5x + \left(-\frac{5\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 2x^2 - 5x + \frac{25}{8}$$ To jest prawie to co chcieliśmy, tylko ten ostatni składnik miał być równy $-12$, a nie $+\frac{25}{8}$. Przypomnijmy sobie jednak teraz o $\spadesuit$. Tak naprawdę, zanim staliśmy się zbyt optymistyczni, to chcieliśmy zapisać równanie $2x^2 - 5x - 12 = 0$ jako $(\heartsuit x + \diamondsuit)^2 = \spadesuit$, albo jeszcze inaczej: $$(\heartsuit x + \diamondsuit)^2 - \spadesuit = 0$$ Teraz chyba już widać jak możemy naprawić nasz “problem”. Wystarczy przyjąć $\spadesuit = -12 - \frac{25}{8} = -\frac{121}{8}$.

No i niby się udało. Dostaliśmy $\heartsuit = \sqrt{2}$, $\diamondsuit = -\frac{5\sqrt{2}}{4}$, $\spadesuit = -\frac{121}{8}$ i otrzymaliśmy “piękne” równanie, z którego już “wszystko” widać. $$2x^2 - 5x - 12 = \left(\sqrt{2}x - \frac{5\sqrt{2}}{4}\right)^2 - \frac{121}{8} = 0$$

Liczby wyglądają przerażająco, ale metoda, którą sobie wypracowaliśmy, powinna dalej działać. $$\left(\sqrt{2}x - \frac{5\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{121}{8}$$ Wydaje się słabe do liczenia, ale mimo wszystko ciągniemy dalej: $$\sqrt{2}x - \frac{5\sqrt{2}}{4} = \pm \sqrt{\frac{121}{8}} = \pm \frac{11}{\sqrt{8}} = \pm \frac{11}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{11\sqrt{2}}{4}$$ Pojawia się światełko w tunelu, że coś się skróci i może nawet wyjdą “równe” liczby. $$\sqrt{2}x = \frac{5\sqrt{2}}{4} \pm \frac{11\sqrt{2}}{4}$$ Rzeczywiście: kończymy na $x = 4$ lub $x = -\frac{3}{2}$. Dało się to policzyć, choć nie było to zbyt przyjemne.

Ogólne rozumowanie

No dobrze, trochę podobieństw do wzorów z deltą chyba zobaczyliśmy, ale to był tylko przykład. Przyznam, że rozpatrywanie konkretnych liczb mało tutaj pomogło a jedynie dołożyło problemu obliczeniowego, ale chciałem tak zrobić, żeby zachować spójność z innymi przykładami. Spróbujmy całość wyprostować i rozważyć tę samą sztuczkę ogólnie, algebraicznie, czyli na literkach, a nie na konkretnych liczbach.

Jeżeli chcemy przekształcić $ax^2 + bx + c = 0$ do postaci $(\heartsuit x - \diamondsuit)^2 = \spadesuit$, musimy ponownie rozpisać wszystko używając do tego wzoru skróconego mnożenia, tak jak wcześniej:

$$(\heartsuit x + \diamondsuit)^2 - \spadesuit = \heartsuit^2 x^2 + 2 \heartsuit \diamondsuit x + \diamondsuit^2 - \spadesuit = ax^2 + bx + c$$

Na moment załóżmy, że próbujemy sobie poradzić tylko z przypadkiem $a > 0$ i przyjmujemy więc najpierw $\heartsuit = \sqrt{a}$. Ponownie, dałoby się przyjąć zamiast tego $-\sqrt{a}$, ale nie róbmy tego: nie dostaniemy żadnych nowych rozwiązań, a tylko kilka dodatkowych minusów, żeby zwiększyć szansę na pomyłkę. Teraz chcemy, żeby $2 \heartsuit \diamondsuit x = b$, czyli $\diamondsuit = \frac{b}{2\sqrt{a}}$. Teraz chcemy dopasować $\spadesuit$, żeby $\diamondsuit^2 - \spadesuit = c$, a więc $\spadesuit = \diamondsuit^2 - c = \frac{b^2}{4a} - c$. To można by zapisać jeszcze nieco inaczej: $\spadesuit = \frac{b^2 - 4ac}{4a} = \frac{\Delta}{4a}$ dla $\Delta = b^2 - 4ac$.

Czyli nasze równanie z postaci ogólnej jest teraz zapisane tak: $$\left(\sqrt{a} x + \frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a}$$ Żeby istniało choć jedno rozwiązanie, to chcemy, żeby $\Delta = b^2 - 4ac \ge 0$ (po prawej stronie powyższej równości musi stać liczba nieujemna, mianownik jest dodatni, więc chcemy, żeby licznik też był). Jeżeli $\Delta \ge 0$, możemy rozwiązywać dalej: $$\sqrt{a}x + \frac{b}{2\sqrt{a}} = \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2\sqrt{a}}$$ Po podzieleniu obustronnie przez $\sqrt{a}$ i zbicie dwóch ułamków o tych samych mianownikach do jednego, otrzymujemy znany wzór: $$x = -\frac{b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$ Dla $\Delta = 0$ jest jasne, że dodajemy lub odejmujemy zero, a więc jest tylko jedno rozwiązanie, zaś dla $\Delta > 0$ jest jasne, że są dwa rozwiązania: $x_1$ oraz $x_2$ różnią się o $\frac{2\sqrt{\Delta}}{2\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{\Delta}{a}}$.

Co z przypadkiem, gdy $a < 0$? Dochodzi nam parę minusów tu i ówdzie (m.in. według definicji pierwiastek kwadratowy można liczyć tylko z liczb nieujemnych), ale wynik się nie zmienia. Chyba łatwiej na początku przemnożyć całe oryginalne równanie przez $-1$ i mieć ten kłopot z głowy. Może nawet jeszcze łatwiej byłoby, gdyby zawsze “normalizować” w ten sposób równanie mnożąc je tak, żeby $a = 1$. Wydaje mi się, że akurat te szczegóły nie wnoszą zbyt dużo do dyskusji.

Dodatek: wzory Viete’a

W podobny sposób, podstawiając już znane wzory na $x_1$ oraz $x_2$, możemy przerachować i uzyskać ukochane przez autorów arkuszy maturalnych wzory Viete’a. $$x_1 + x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b - \sqrt{\Delta} - b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$$ $$x_1 x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{(-b - \sqrt{\Delta})(-b + \sqrt{\Delta})}{4a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$$

W tym drugim wyprowadzeniu skorzystaliśmy z innego wzoru skróconego mnożenia: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Zadania

Zaproponuję od siebie trzy zadania na sprawdzenie ile Czytelnik zrozumiał z mojego wywodu.

1. Podaj postać ogólną równania kwadratowego, którego pierwiastkami są $x_1 = 3$ oraz $x_2 = 6$.
2. Załóżmy, że równanie kwadratowe w postaci ogólnej ma wszystkie współczynniki tego samego znaku. Ile rozwiązań ma to równanie?
3. Istnieje jeszcze inna postać równania kwadratowego: postać kanoniczna: $$a(x - p)^2 + q = 0$$ Wyprowadź (w podobny sposób jak we wpisie) wzory na $p$ oraz $q$, w zależności od $a$, $b$ oraz $c$ z postaci ogólnej. Co tak naprawdę oznaczają te liczby $p$ oraz $q$?

Podsumowanie

Nadal nie rozumiem dlaczego autorzy arkuszy maturalnych (a więc siłą rzeczy i nauczyciele przygotowujący do matury) mają takiego fioła na punkcie już nawet nie samego równania kwadratowego, co manipulacji wzorami wokół tego równania. Jakkolwiek równania kwadratowe występują w wielu naturalnych sytuacjach i warto umieć je rozwiązywać, ten nacisk wydaje mi się całkowicie nieuzasadniony. Z jakichś przyczyn zakłada się, że na przykład sposoby na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia już nie powinny być aż tak wbijane do głów i chociaż zdarzają się na maturze, to tylko w postaci prostszych wariantów, w których ogólna wiedza z zakresu wielomianów wystarcza.

Nie podoba mi się też (o czym pisałem już wcześniej), że tego wyprowadzenia, które pokazałem w tym wpisie nie pokazuje się uczniom w typowych szkołach. Uczniowie najpierw powinni się dobrze wytrenować w prostszych wariantach równań kwadratowych, potrafić wykonywać przekształcenia wyrażeń algebraicznych i z drobną pomocą nauczyciela, który dostarczyłby im odpowiedniej intuicji powinni sobie te wzory sami wyprowadzić. Dużo cenniejsze wydaje mi się zrozumienie tego wyprowadzenia i intuicji za tymi wzorami, niż samo późniejsze mechaniczne ich stosowanie. Co roku ogromna liczba uczniów podejmuje wysiłek przygotowania do matury z matematyki i powtarza sobie te wzory. Uważam to za straconą okazję, że w momencie przerabiania równań kwadratowych, oni podejmują jedynie wysiłek upewnienia się, że wzory (lub ich umiejscowienie w tablicach maturalnych) są wbite do głowy i co najwyżej przerobią sobie kilka przykładów na manipulację już gotowymi wzorami, bez żadnego zrozumienia co tak naprawdę się za nimi kryje. Szkoda.