Matura 2025: całkiem niegłupie zadanie z prawdopodobieństwa
Zadanie nr 4 z matury rozszerzonej z matematyki wraz z jego rozwiązaniem.
Narzekałem kiedyś na zadania maturalne z matematyki. Aż tak dużo się nie zmieniło przez ten rok, ale moją (i nie tylko moją) uwagę zwróciło jedno zadanie z prawdopodobieństwa. Banalne, jeżeli się na nie odpowiednio spojrzy (przykładowo ja obliczyłem wynik w pamięci), a nadal dość łatwe, gdy się spojrzy inaczej. Mimo wszystko, wydaje mi się, że zadanie, mimo że dość łatwe, nie jest wcale głupie. Dlatego właśnie dzisiaj opowiem o tym zadaniu oraz o jego rozwiązaniu.
Zadanie
Treść zadania jest następująca:
Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie
Ja myślę o tym zadaniu mniej więcej w taki sposób. Nie wciskajmy sobie kitu, że rzucamy kostką cztery razy: dwa rzuty (nieważne które dwa) są już przecież ustalone (wypadła tam piątka). Realnie mamy więc do wykonania tylko dwa rzuty kostką i wiadomo, że piątka nie wypadła w żadnym z nich. Można więc sobie wyobrazić, że tak w zasadzie mamy do dyspozycji kostkę pięciościenną z wartościami $1, 2, 3, 4, 6$ na ściankach. Jest $5 \cdot 5 = 25$ różnych możliwych wyników na tych kościach (możemy przyjąć, że jedna kostka jest czerwona, a druga niebieska). Każdy z tych wyników jest jednakowo prawdopodobny. Spośród tych opcji jest pięć możliwości, w których na czerwonej kostce wypadnie szóstka oraz pięć możliwości, w których na niebieskiej kostce wypadnie szóstka. Dwukrotnie jednak policzyliśmy możliwość $(6, 6)$, którą powinniśmy zliczyć tylko raz, a zatem $5 + 5 - 1 = 9$ możliwości jest korzystnych dla zdarzenia, że jest co najmniej jedna szóstka. Ostatecznie otrzymujemy finalny wynik zadania: $\frac{9}{25}$.
Inne rozwiązania
Okazuje się, że rozwiązanie, które zaproponowałem wcale nie jest zbyt popularne.
Na kanale Matemaks (chyba dość znany z przygotowań do matury - 433 tysiące subskrybentów w momencie pisania tego wpisu) zaprezentowano rozwiązanie, w którym dość naiwnie korzysta się z wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe.
Z kolei na kanale PATOMATMA (również dość popularny - 260 tysięcy subskrybentów) pojawił się film specjalnie o tym zadaniu, w którym prezentowane jest chyba najbardziej brutalne podejście do tego zadania.
Przyznam, że jestem nieco zasmucony, że “moje” rozwiązanie nie jest tym domyślnym: jest dużo bardziej elementarne od podejść z filmów. Cieszy mnie jednak, że pod każdym z tych filmów znalazł się jakiś komentarz, który prezentuje rozwiązanie, które jest moim zdaniem wzorcowe.
Uwagi do zadania
Trochę nie podoba mi się sformułowanie zadania. Wolałbym, żeby napisano coś w stylu:
Wiadomo, że w dokładnie dwóch spośród czterech rzutów standardową kostką sześciościenną wypadła piątka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w tych czterech rzutach wypadła choć jedna szóstka?
Moim zdaniem to sformułowanie jest dużo bardziej naturalne i nie sugeruje tak mocno rozwiązania z prawdopodobieństwem warunkowym (fraza pod warunkiem).
Uwagi do matury
Chociaż pochwaliłem zadanie z prawdopodobieństwa, to całej matury pochwalić nie mogę. Jak zwykle, zgodnie z moimi wcześniejszymi wpisami o maturze, oczywiście pojawiło się kompletnie nieżyciowe zadanie na równanie kwadratowe z parametrem, gdzie udało się jeszcze wrzucić wzory Viete’a.
Kolejne zadanie tego samego typu jak na czterech ostatnich maturach.
Pojawiły się oczywiście też inne klasyki maturalne:
- manipulacje na wzorach skróconego mnożenia w zadaniach rzekomo dowodowych (zadanie 2),
- równanie z wartością bezwzględną (zadanie 5),
- zadanie na ustalenie wzoru ciągu geometrycznego i obliczenie sumy (zadanie 6),
- równanie trygonometryczne, gdzie zdający znowu będzie mógł udowodnić znajomość sposobów na rozwiązywanie równania kwadratowego (zadanie 9),
- zadanie optymalizacyjne, gdzie zdający będzie mógł pokazać, że nauczył się pochodnych funkcji (zadanie 12).
To jak wygląda matura determinuje to jak się jej uczy w szkołach średnich. Najwyraźniej ktoś chce, żeby tak to wyglądało. Nie do końca rozumiem (no dobrze, mam pewne teorie spiskowe), dlaczego nauka matematyki ma sprowadzać się do wykucia na pamięć kilku algorytmów na rozwiązywanie kilku typów zadań. Krótko mówiąc: ja akurat jestem raczej przeciw takiemu formatowi matury, choć nie mam nic do powiedzenia.