Bardzo ładne zadanie o potęgowaniu
Prosta, choć chyba niezbyt typowa zagadka matematyczna.
Dzisiaj chciałem się z Wami podzielić małym zadaniem z matematyki, które nie jest może bardzo trudne i jego rozwiązanie nie zajęło mi zbyt wiele czasu, ale które spodobało mi się bardzo. Zadanie pochodzi z ostatniego rozdziału pakietu edukacyjnego Beast Academy, który już nie raz i nie dwa polecałem na tym blogu.
Zadanie
Należy uzupełnić każde pole równania liczbą $2$, $3$ lub $4$, aby równość była zachowana.
$$(2 \cdot \Box^\Box - \Box)^2 = (\Box^\Box - \Box)^3$$
Zdecydowanie polecam spróbować samodzielnie rozwiązać zadanie, zanim przejdzie się do rozwiązania. Tak jak wspomniałem, rozwiązanie tego zadania sprawiło mi całkiem dużą przyjemność, może u Ciebie będzie podobnie.
Rozwiązanie
Najpierw zauważamy, że równanie jest postaci “coś do kwadratu równa się coś do sześcianu”. Nie wiem ile te “cosie” są równe, ale wartość każdej ze stron równości (oznaczmy ją $M$) musi być jednocześnie kwadratem i jednocześnie sześcianem. Ja to rozumiem tak, że każdy czynnik pierwszy liczby $M$ musi występować parzystą liczbę razy oraz liczbę razy, która jest wielokrotnością trójki. A więc każdy czynnik pierwszy liczby $R$ musi występować taką liczbę razy, która jest wielokrotnością szóstki, czyli liczba $M$ to musi być szósta potęga jakiejś liczby naturalnej, czyli $M = k^6$ dla pewnej liczby naturalnej $k$. Wtedy lewa strona równości jest postaci $(k^3)^2$ (czyli w nawiasie musi być sześcian liczby naturalnej), a prawa strona równości jest postaci $(k^2)^3$ (czyli w nawiasie musi być kwadrat liczby naturalnej).
Zapiszmy sobie jakie mogą być wartości wyrażenia $2 \cdot a^b$ dla różnych kombinacji $a, b \in \{2, 3, 4\}$:
| $b = 2$ | $b = 3$ | $b = 4$ | |
|---|---|---|---|
| $a = 2$ | 8 | 16 | 32 |
| $a = 3$ | 18 | 54 | 162 |
| $a = 4$ | 32 | 128 | 512 |
Od tego wyrażenia można odjąć jedynie dwa, trzy lub cztery i musi to już być sześcian liczby naturalnej (czyli jedna z liczb $1, 8, 27, 64, 125, 216, 349, 512, \ldots$). Jedynym sensownym kandydatem wydaje się być wziąć $2 \cdot 4^3 - 3 = 125 = 5^3$. To by wymuszało, żeby wartość nawiasu po prawej stronie równości była $5^2 = 25$. Nie trudno zauważyć, że jedynym sposobem na osiągnięcie tego jest wziąć $3^3 - 2$.
Ostatecznie dostajemy, że rozwiązaniem zadania jest:
$$(2 \cdot 4^3 - 3)^2 = (3^3 - 2)^3$$
Podsumowanie
Bardzo brakuje mi tego typu zadań w szkole. Zadań, w których z jednej strony trzeba zauważyć jakąś strukturę rozwiązania, żeby ograniczyć sobie sensownie liczbę możliwości, ale z drugiej strony zadań dostępnych również uczniom, którzy dopiero zaczynają swoją przygodę z matematyką na poważnie. Nie mam nic do powiedzenia, ale zastanawiam się, czy nie byłoby dobrze zobaczyć tego typu zadania na przykład na konkursach wojewódzkich z matematyki w szkole podstawowej lub na wczesnych etapach Olimpiady Matematycznej Juniorów. Wydaje mi się, że nawet w takich miejscach tego typu zadań nie można znaleźć zbyt wiele. Najczęściej z tego typu rozumowaniami można mieć do czynienia na konkursie Kangur Matematyczny w wyższych kategoriach wiekowych (powiedzmy od Kadeta w górę) i na Mistrzostwach Polski w Grach Matematycznych i Logicznych, o których pisałem już na blogu. Czy podobają się Wam tego typu zadania i czy widzieliście ich więcej? Sekcja komentarzy pozostaje do Waszej dyspozycji.