O pewnym zadaniu z Kangura Matematycznego. Scenariusz lekcji.
Czyli jak mogą wyglądać niezbyt trudne, a pouczające zajęcia z matematyki.
W dzisiejszym wpisie opowiem o kilku rzeczach na raz. Króciutko wspomnę o konkursie Kangur Matematyczny, z którego pochodzi zadanie wokół którego będę krążył. Pokażę jak daleko można się zapuścić zaczynając od zadania dla dzieci i wspomnę, że warto zachęcać uczniów do tego, żeby próbowali wymyślać własne warianty zadań i prowadzili twórcze rozważania nad problemami, które ich zaciekawiły.
Kangur Matematyczny
Kangur to bardzo powszechny konkurs matematyczny, który odbywa się zwykle w któryś (trzeci?) czwartek marca. W konkursie startuje co roku około 6 milionów uczniów z ponad 50 krajów świata. Uczniowie podczas jednej sesji, w czasie 75 minut rozwiązują te same zadania (na swoim poziomie trudności) i otrzymują za to nagrody, jednak ważniejszym celem konkursu jest popularyzacja matematyki i rozwiązywanie ciekawych zadań niż czysta rywalizacja i wyłanianie najlepszych.
Zadania z Kangura są moim zdaniem dość ciekawe, autorzy zadań pilnują się, żeby nie wymagały one dużej wiedzy matematycznej, a zarazem nie były zbyt łatwe. Na niższych poziomach powiedziałbym, że spora część trudności wynika z tego, że zadania są podchwytliwe, ale na szczęście nawet najmłodsi mają szansę rozprawić się chociaż z kilkoma trudniejszymi zadaniami, których po prostu można nie wymyślić, a nie jedynie się w nich pomylić.
Konkurs odbywa się na sześciu poziomach trudności i jest przeznaczony dla uczniów szkół podstawowych i szkół średnich. W każdej kategorii arkusz zawiera $\frac{1}{3}$ zadań łatwych (po 3 punkty każde), $\frac{1}{3}$ zadań średniej trudności (po 4 punkty każde) oraz $\frac{1}{3}$ zadań trudnych (po 5 punktów każde). W większości kategorii arkusz liczy 30 pytań, jedynie w najniższych kategoriach (Żaczek i Maluch) zadań jest mniej (odpowiednio 21 lub 24).
Zadanie z Kangura
Zadanie, o którym będzie dzisiejszy wpis pochodzi z arkusza Maluch 2014 (dla klas 3-4 szkoły podstawowej).
Zadanie nr 23 z arkusza Maluch 2014.
Prawidłowe rozwiązanie zadania nie jest zbyt skomplikowane. Uczeń może spróbować pokolorować planszę z góry na dół, od lewej do prawej, starając się kolorować jak najwięcej, pilnując się jednak, żeby w żadnym przypadku nie zakolorować czwartego pola jakiegoś podkwadratu $2 \times 2$. Prowadzi to do uzyskania odpowiedzi $21$ i następującego wzoru:
Rozwiązanie oryginalnego zadania.
Zadanie można zrobić w ciągu minuty i szybko o nim zapomnieć… albo zacząć się zastanawiać głębiej.
Dlaczego nie $22$?
Pierwszym, naturalnie narzucającym się pytaniem jest: A skąd wiadomo, że nie da się zrobić rozwiązania, w którym zakolorujemy więcej pól? Od jednego z (jeszcze mniej doświadczonych) uczniów, który uczestniczył w moich zajęciach usłyszałem naturalnie narzucający się (błędny) argument: Zakolorowałem wszystko co się dało, nie mogę już pokolorować żadnego pola, bo inaczej powstałby zakazany podkwadrat.
Ta argumentacja oczywiście nie działa, bo wystarczyłoby kolorować w innej kolejności i zaznaczać co się da, żeby skończyć z następującym rozwiązaniem, którego również nie da się “lokalnie” poprawić, a nie jest ono optymalne.
Kontrprzykład do argumentu o maksimum lokalnym.
Pytanie o to, czy nie da się osiągnąć lepszego wyniku nie jest więc wcale głupie: nie jest przecież powiedziane, że odpuszczając pokolorowanie jakiegoś pola, nie dałoby się może odbić sobie tego później z nawiązką.
Całkiem proste w zrozumieniu uzasadnienie, że jednak się nie da lepiej wyglądałoby jakoś tak. Rozważmy poniższe pokolorowanie:
Rysunek do uzasadnienia odpowiedzi 21 do oryginalnego zadania.
W każdym z czterech podkwadratów $2 \times 2$ (na rysunku oznaczonym różnymi kolorami) musimy “stracić” co najmniej jedno pole (nie możemy pokolorować wszystkich czterech pól w żadnym z kwadratów). To oznacza, że w najlepszym razie może się nam udać zakolorować $25 - 4 = 21$ pól. W połączeniu z rozważaniem z poprzedniej sekcji wnioskujemy, że poprawna odpowiedź z zadania to $21$.
Inne zadania
Dobry podkwadrat ma co najwyżej dwa zakolorowane pola
Zarówno w szkole, jak i podczas przygotowań ucznia do konkursu (samodzielnych lub z rodzicami/korepetytorami), na tym skończyłaby się przygoda z tym zadaniem i uwaga zaczęła być przenoszona na kolejny problem. Ja jednak zaproponowałbym inne rozwiązanie. Zapytajmy ucznia: Czy masz pomysł na inne zadanie wokół tego problemu? Może potrafisz wymyślić inne ciekawe pytanie w tym temacie?
Udało mi się uzyskać od ucznia sensowną propozycję: A co, gdyby za zły podkwadrat uznawać taki, w którym już trzy albo cztery pola są zamalowane? O tym problemie i ja myślałem. Zapytałem więc ucznia o rozwiązanie jego zadania. Okazało się, że wymyślił to samo (błędne) rozwiązanie co ja:
Narzucający się szachownicowy wzór.
Wydaje mi się, że jest to narzucające się rozwiązanie: skoro w każdym podkwadracie $2 \times 2$ można zakolorować co najwyżej dwa pola, szachownicowy wzorzec wydaje się być sensowny. Cały bok figury jest wtedy zamalowany… mamy aż $16$ zakolorowanych kwadratów, co mogłoby pójść nie tak? Sprawdzając argument z poprzedniego dowodu, doszlibyśmy do wniosku, że potrafimy udowodnić w ten sposób, że nie da się lepiej niż $17$, bo w każdym z czterech kolorowych podkwadratów musimy “stracić” dwa pola z teoretycznego maksimum. Przyznaję, że w pierwszym odruchu zacząłem szukać dodatkowych uzasadnień i innych kolorowań, którymi mógłbym pokazać, że $16$ to optymalny wynik. Do czasu aż uwierzyłem w drugą ewentualność (że może jednak rzeczywiście da się pokolorować $17$ pól):
Poprawne rozwiązanie zmodyfikowanego zadania.
Jak widać, próba udowodnienia optymalności rozwiązania uchroniła mnie od popełnienia błędu. Czy uczniowie na Kangurze przeprowadzają podobne rozumowania? Śmiem wątpić – na konkursie nie ma na to czasu. I w porządku, ale skoro to jest ciekawe, warto pokazać to na zajęciach przygotowujących do konkursu.
Dobry podkwadrat ma co najwyżej jedno zakolorowane pole
Można oczywiście pójść jeszcze dalej: w każdym podkwadracie $2 \times 2$ pozwalamy sobie pokolorować co najwyżej jedno pole. Z naszego argumentu o czterech rozłącznych podkwadratach otrzymujemy, że co najwyżej może się nam udać pokolorować $13$ pól. Ale czy jest to możliwe? Okazuje się, że tak:
Rozwiązanie kolejnej modyfikacji zadania.
Inne pytanie
A gdyby nie zapomnieć o kolorowaniu pól i zakazanych podkwadratach? Jakie jeszcze inne pytanie można zadać do tej planszy z kwadracików? Może takie: Ile kwadratów jest na tym rysunku?
I potrafimy takie zadanie oczywiście rozwiązać:
- jest $25$ pojedynczych pól,
- $12$ podkwadratów $2 \times 2$,
- oraz $5$ podkwadratów $3 \times 3$.
Razem $42$ kwadraty.
Jeszcze trudniejsze pytanie mogłoby dotyczyć na przykład zliczania prostokątów… Odpowiedź $170$ można odczytać sumując liczby z diagramu poniżej. Liczby umieszczone w polach oznaczają liczbę prawych dolnych rogów prostokątów, które można uzyskać z danego lewego górnego rogu.
Rozwiązanie kolejnej modyfikacji zadania.
Większa plansza
Poprzednie pytania można utrudniać i zacząć się zastanawiać nad tym, co by było, gdyby plansza była o takim samym kształcie jak w zadaniu z Kangura, ale większa. Pozostawię już te rozważania Czytelnikom.
Podsumowanie
Wydaje mi się, że na zajęciach z matematyki w szkole zbyt rzadko (jeżeli w ogóle) uczniom zadaje się pytanie A czy masz pomysł na inne zadanie? Powiedziałbym, że właśnie po tym można poznać ucznia szczególnie zdolnego: że nie kończy rozważań nad problemem po jego rozwiązaniu, że zawsze widzi niedosyt w niepełnych rozumowaniach, że poszukuje kolejnych ciekawych wyzwań. Warto poszukiwać takich okazji częściej.