Tabliczka mnożenia

Dlaczego warto nauczyć się tabliczki mnożenia na pamięć oraz narzędzie wspomagające naukę.

Spis treści

Stali Czytelnicy bloga zapewne znaleźli już tutaj całkiem sporo narzędzi i opinii o nauczaniu matematyki. Zamieściłem tutaj na przykład serię wpisów o potrzebie dowodzenia. Narzekałem też na zadania maturalne, w których o sukcesie decyduje to czy nauczyło się kilku prostych schematów na pamięć. Łatwo chyba zorientować się, że mój pogląd na uczenie (się) matematyki jest daleki od bezrozumnego wkuwania na pamięć faktów i algorytmów. W tym wpisie będę przekonywał jednak do konieczności nauczenia się tabliczki mnożenia na pamięć, na zasadzie zapamiętania wyników konkretnych działań, bez próby pójścia na skróty, czy obejścia problemu za pomocą sprytnych sztuczek. Oprócz tego dołączam proste, ale chyba skuteczne narzędzie do treningu.

Dlaczego warto nauczyć się tabliczki mnożenia?

Zacznijmy od tego, że działanie mnożenia występuje w niezliczonych sytuacjach życiowych:

• w opakowaniu znajduje się pewna liczba obiektów (batoników, cukierków, jogurtów), mamy kilka opakowań, chcemy wiedzieć ile to jest obiektów,
• litr paliwa kosztuje pewną cenę, wlewamy do baku pewną ilość paliwa, chcemy wiedzieć ile zapłacimy,
• chcemy obliczyć pole powierzchni pokoju.

W takich sytuacjach często można wykpić się wielokrotnym dodawaniem zamiast działania mnożenia. Dlatego często uczniom (również zdolnym) wydaje się, że w zasadzie nie trzeba się uczyć tabliczki mnożenia i przez długi czas są w stanie przetrwać w systemie szkolnym tylko na takim sprycie i umiejętności dodawania.

Nieco mniej oczywistym jest natomiast to, że mnożenie jest elementarną operacją, która ułatwia wykonywanie innych, trudniejszych działań.

Przykładowo, żeby wykonać dzielenie, dobrze jest mieć w głowie wyniki mnożeń, żeby wiedzieć jaki jest wynik dzielenia. Działanie $48 \div 6 = 8$ jest trywialne o ile wie się jaka liczba pomnożona przez $6$ daje $48$. Jeżeli znamy tabliczkę mnożenia, potrafimy łatwo skorzystać z tych faktów i wykonać dzielenie natychmiastowo. Jeżeli nie, konieczne jest zgadywanie wyniku: próba dodawania kolejnych szóstek aż uzyskamy $48$. To czasochłonne i na moment oddala nas od właściwego zadania.

Jeżeli mamy do wykonania duże zadanie, które składa się z kilku obliczeń pośrednich, to skuteczność wykonania tego zadania w dużej mierze zależy od tego jak trywialne są pojedyncze kroki. Jeżeli są trywialne i są wykonywane natychmiast, mózg nie musi pamiętać co jest do zrobienia, tylko można to od razu zrobić i kontynuować do kolejnego kroku. Jeżeli zaś trzeba się zagłębić w dany krok obliczeń (bo nie zna się tabliczki mnożenia) to dochodzi dodatkowa warstwa rzeczy do zapamiętania: po skutecznym (lub nie) obliczeniu wyniku pośredniego kroku należy sobie potem przypomnieć po co mi był ten wynik, co mam dalej z nim zrobić?

Pójdźmy jeszcze krok dalej: powiedzmy, że mamy do wykonania działanie $387 \div 9 = 43$. Zapewne nie mamy w pamięci natychmiastowego faktu $43 \cdot 9 = 387$, który by nam pomógł w obliczeniu wyniku tego działania. Ale nawet dziecku można wytłumaczyć, że jak ma $207$ cukierków, które ma rozdzielić między $9$ osób, to może najpierw rozdzielić pulę $360$ cukierków (dając każdemu po $40$ cukierków), a potem pulę pozostałych $27$ cukierków (dając każdemu po $3$ cukierki). Skąd jednak wzięła się liczba $360$? Zapewne z wyczucia, że chcemy operować na wielokrotnościach $90$ (czyli wielokrotnościach $10$ cukierków dla każdej osoby), a więc pomocne jest przypomnienie sobie $9$ razy ile daje coś zbliżonego do $38.7$: i z tabliczki mnożenia możemy od razu wziąć $9 \cdot 4 = 36$, co przydaje się zarówno do tego, żeby wiedzieć, że każdy dostaje z tej puli po $40$ cukierków, a także że pula składała się z $360$ cukierków. W zasadzie nie wyobrażam sobie efektywnego wykonania tego typu działania bez znajomości tabliczki mnożenia.

Ale przecież każdy ma kalkulator w kieszeni

Można moją argumentację oczywiście zbić tym, że teraz każdy (nawet dzieci) ma telefon komórkowy w kieszeni, a tam jest zainstalowana aplikacja kalkulatora. Śmiem twierdzić, że to słaby argument: w ten sam sposób możnaby powiedzieć, że w zasadzie prawie niczego nie opłaca się uczyć, bo jest przecież ChatGPT i wyszukiwarka internetowa. Ale właśnie dostatecznie dużo trywialnych faktów i prostych umiejętności w głowie pozwala zacząć zastanawiać się nad rzeczami bardziej złożonymi. Jeśli po każdy fakt musimy się schylać i pytać kogoś innego, to trudno jest utrzymać w głowie choćby schemat tego co i po co chcemy zrobić.

Zanim zaczniemy się uczyć na pamięć

Zanim zaczniemy (się) uczyć na pamięć, warto dobrze zrozumieć czym jest mnożenie. Uważam, że wystarczające jest mieć kilka wizualizacji w głowie:

• mnożenie to wielokrotne dodawanie (np. $5 \cdot 8 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40$),
• mnożenie pozwala obliczyć pole prostokąta.

Z tych wizualizacji łatwo wynika, że mnożenie jest przemienne (wystarczy obrócić prostokąt/głowę o $90^{\circ}$ lub zliczać obiekty pionowo/poziomo).

Z tych wizualizacji wynika również prawo rozdzielności (np. $12 \cdot 9 = 10 \cdot 9 + 2 \cdot 9 = 90 + 18 = 108$).

Tego typu arytmetyczne sztuczki przygotowują do późniejszej przygody z algebrą, gdzie zamiana $a(b + c) = ab + ac$ będzie konieczna w różnych sytuacjach i to w obie strony. Najpierw lepiej jednak tego typu sztuczki przetrenować w świecie arytmetyki i zobaczyć ich sens: przykładowo $32 \cdot 24 + 68 \cdot 24$ można policzyć trywialnie, gdy wyobraźnia przyniesie wizualizację, że mamy $32$ rzędy po $24$ kropki oraz jeszcze $68$ rzędów po $24$ kropki, a więc razem $32 + 68 = 100$ rzędów po $24$ kropki, czyli $2400$ kropek. Dostatecznie dużo treningu takich działań w świecie arytmetyki pozwoli rozumieć to wszystko w świecie algebry. Brak takiego zrozumienia natomiast oczywiście będzie prowadził do błędów i tworzenia w głowie nieprawidłowych wzorców i wykształcania reguł algebraicznych, które nie działają.

A może to zrozumienie wystarczy?

Zwracam jeszcze raz uwagę na to, że nawet najmądrzejsze sztuczki przegrywają z prostym zapamiętaniem kilku faktów. Nawet sprytne obliczenie dzięki zrozumieniu czym tak naprawdę jest mnożenie jest wolniejsze niż wyszukanie informacji w głowie. Konieczność wykonania dodatkowych kroków pośrednich nie tylko wydłuża czas

Znajomość tabliczki mnożenia pozwala nie tylko wiedzieć, że $7 \cdot 9 = 63$, ale również pozwala wiedzieć, że $63 = 7 \cdot 9$. Wiedząc, że pole prostokąta jest równe $63$, a boki prostokąta mają długości będące liczbami całkowitymi możemy od razu “zgadnąć” wymiary tego prostokąta $7 \times 9$ albo $21 \times 3$ albo dowolny inny dzielnik liczby $63$ razy $63$ podzielić przez ów dzielnik. W każdym razie, wszystkie te dzielniki znajdziemy znając rozkład na czynniki pierwsze, który mamy za darmo, gdy znamy podstawowe fakty z tabliczki mnożenia. Brak tego faktu w odpowiedniej szufladce w mózgu równa się konieczności zgadywania i próbowania: czy $63$ dzieli się przez $2$, a może przez $3$, a może przez $5$, a jaki jest wynik tego dzielenia? I tak dalej.

Podobnie będzie przy skracaniu ułamków. Ktoś kto wie, że $45 = 5 \cdot 9$ oraz $63 = 7 \cdot 9$ nie będzie miał żadnego kłopotu ze skróceniem ułamka $\frac{45}{63} = \frac{5}{7}$.

Czy nauczenie się tabliczki mnożenia jest trudne?

Najlepsze jest to, że po odsianiu łatwych działań, tych faktów do zapamiętania jest dokładnie $36$.

Jako łatwe działania mam na myśli:

• zero razy cokolwiek daje zero,
• jeden razy cokolwiek daje tę liczbę,
• dziesięć razy cokolwiek daje tę liczbę dziesiątek (czyli z zerem na końcu),
• każdy fakt $a \cdot b$ ma swój fakt “bliźniaczy” $b \cdot a$.

Po odsianiu tych łatwych działań widać, że do zapamiętania jest tylko tyle:

Nie sądzę, żeby nie dało się dojść do całkiem sensownego poziomu w ciągu maksymalnie kilku godzin pracy rozłożonych na kilka dni. Koszt ominięcia tej pracy wydaje mi się zbyt wysoki. Dla niektórych uczniów to może jest być albo nie być z matematyki. Tego trzeba będzie się nauczyć tak czy siak, ale zbyt późne nauczenie się tego będzie bolało i będzie skutkowało problemami z matematyką.

Interaktywna tabliczka mnożenia

Z dość dużą pomocą ChatGPT (ale również niewielkiego sznytu programistycznego) stworzyłem grę do treningu tabliczki mnożenia.

Gra wyświetla na ekranie:

• nieuzupełnioną tabliczkę mnożenia (która uzupełnia się w trakcie grania),
• działanie, na które należy odpowiedzieć,
• wizualizację tego działania.

Dobre odpowiedzi skutkują tym, że gra przestaje o dane działanie pytać, złe odpowiedzi (lub zbyt długi czas namysłu) zabierają “życia”. Utrata wszystkich żyć oznacza przegraną. Możliwe jest ustawienie rozmiaru tabliczki mnożenia. Z początkującym dzieckiem warto zacząć od tabliczki mnożenia do $5 \times 5$, która ma zaledwie dziesięć realnych pytań i stopniowo powiększać zakres aż dojdziemy do $10 \times 10$. Możliwe jest również powiększenie limitu czasu lub liczby żyć. Wydaje mi się jednak, że materiał będzie opanowany dopiero wtedy, gdy na standardowych ustawieniach ktoś regularnie będzie w stanie zapełnić całą tabelkę.

Podsumowanie

Nie jestem pewien czy naprawdę musiałem przekonywać stałych Czytelników do konieczności nauczenia się tabliczki mnożenia na pamięć. Ale skoro uznałem za stosowne stracić kilka godzin na przygotowanie narzędzia, chciałem się z tego jakoś wytłumaczyć. A co Wy o tym myślicie? Czy macie jakieś swoje przemyślenia na ten temat?