O rozwiązywaniu równań kwadratowych

Klasyk maturalny czyli coś dla starszych: równania kwadratowe i wzór z deltą. Dlaczego to działa?

• 5.07.2024
• 6 min czytania

Spis treści

Dotychczas na blogu zdecydowana większość treści (jeśli nie wszystkie) dotyczyło edukacji najmłodszych. W tym wpisie będzie nieco inaczej: poruszę temat klasyka maturalnego czyli równań kwadratowych. Niestety, znowu będzie na co ponarzekać.

Zadania maturalne na równania kwadratowe (z parametrem)

Na każdej maturze z matematyki absolutnym pewniakiem jest to, że będzie zadanie na równanie kwadratowe. Jest też dość jasne, że jego treść będzie brzmiała jakoś tak: Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, że równanie kwadratowe (w którym ten parametr jest zawarty) ma dwa rozwiązania, takie, że ich suma/iloczyn/jakaś inna magiczna formuła jest równa/mniejsza/większa niż…

Aby nie było, że przesadzam, poniżej wrzucam treść zadań z matury rozszerzonej z ostatnich czterech lat (po jednym z każdego roku):

Już sama konstrukcja egzaminu w ten sposób mi się nie podoba. Czy naprawdę autorów nie stać na coś więcej? Nikt mi nie wmówi, że te zadania są jakkolwiek interesujące i że mają jakiekolwiek zastosowanie praktyczne. Tak się po prostu składa, że zawierają kilka stałych technicznych sztuczek, wymuszają znajomość wzorów na równanie kwadratowe, można popełnić kilka błędów technicznych, zapomnieć o rozpatrzeniu jakiegoś przypadku etc. Na takich zadaniach wygrywa uczeń, który się wytrenował. Egzamin, zamiast sprawdzać czyste umiejętności matematyczne, wiedzę, spryt, logiczne myślenie, sprawdza ilość poświęconego czasu przed egzaminem i to czy uczeń/nauczyciel dobrze odrobił pracę domową z tematu Co jest sprawdzane na egzaminie maturalnym?

Jak widać, zmiana “formuły” egzaminu, która nastąpiła w 2023 roku, tak naprawdę nic nie zmieniła w tej materii. Największe zmiany widać chyba w typografii (nieco inne czcionki) i kolorze tabelek, które stały się fioletowe.

Inne typowe pewniaki maturalne:

• zadanie optymalizacyjne (albo na “oblicz pochodną funkcji” albo na “znajdź wierzchołek paraboli”),
• nierówność kwadratowa (w której zazwyczaj trzeba jeszcze rozpatrzyć kilka przypadków),
• równanie trygonometryczne.

Nauczanie w szkołach

Ponieważ zadania o równaniach kwadratowych są pewniakami maturalnymi, zapewne solidnie uczy się ich w szkole średniej… Powiedziałbym, że umiarkowanie solidnie.

Uczniowie poznają postać równania kwadratowego (koniecznie $a \neq 0$):

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

Niedługo potem na tablicy pojawia się zwykle wzór na deltę oraz pierwiastki równania:

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$

Sprawdzamy działanie wzorków na kilku przykładach, żeby upewnić się, że uczniowie rozumieją, że w równaniu $2x^2 + 3x = 5$, mamy $a = 2$, $b = 3$ oraz $c = -5$. I już. Wzorki należy za-pa-mię-tać, bo przydadzą się na maturze! I na jutrzejszej kartkówce i na pojutrzejszym odpytywaniu przy tablicy.

Jak w poście o twierdzeniu Pitagorasa, dowód często się pomija. Jestem skłonny przypuszczać, że wielu nauczycieli nawet nie potrafiłaby go zaprezentować. Tym razem jednak nie można nawet próbować usprawiedliwiać się niedojrzałością uczniów: rozwiązywanie równań kwadratowych wprowadza się zwykle w pierwszej klasie szkoły średniej. Uczniowie mają po 15-16 lat i przygotowują się przecież do matury z matematyki na poziomie rozszerzonym. W jaki sposób my tutaj cokolwiek rozszerzamy?

Wpisałem w wyszukiwarkę scenariusz lekcji równanie kwadratowe i na pierwszej stronie wyników wyszukiwania znajduję:

• nieformalną próbę uzasadnienia wraz z podaniem wzorów,
• wybitnie słaby materiał o nierówności kwadratowej,
• lekcja, w której głównym elementem jest przypomnienie schematu z wzorem z deltą,
• skrajnie długi materiał z dużą liczbą scenariuszy, zawierający odpowiednie uzasadnienia, przygotowany w ramach jakiegoś projektu unijnego,
• inny, dużo gorszy materiał, bardziej nakierowany na informatykę, również w ramach projektu unijnego,
• materiał, w którym wzory “wyskakują z kapelusza”, chociaż później jest pokazane ich uzasadnienie,
• scenariusz “oficjalny” z Zintegrowanej Platformy Edukacyjnej MEN, z pominięciem uzasadnienia.

Niektóre materiały zawierają jakieś próby wyprowadzeń wzorów, inne zawierają fragmentaryczne uzasadnienia, jeszcze inne kompletnie pomijają dowód poprawności, a skupiają się na zastosowaniach. Podobnie pewnie jest w szkołach.

Podręczniki szkolne

Po raz kolejny muszę pochwalić podręczniki Gdańskiego Wydawnictwa Oświatowego. Po pierwsze, ich podręcznik jest dostępny online tutaj, więc łatwo mogę zobaczyć co w nim jest, bez płacenia i bez czekania na przesyłkę. A po drugie: w odpowiednim dziale (od strony 186), najpierw rozpatruje się najprostsze równania (z $b = 0$), które uczeń samodzielnie powinien już potrafić rozwiązać (co więcej, wspomagając się sensownym, praktycznym przykładem), następnie zaprezentowane są nieco trudniejsze przykłady (z $c = 0$), w których wyłączając $x$ przed nawias można zaobserwować jakie jest rozwiązanie. Dopiero na samym końcu, po ugruntowaniu tego co jest łatwe, w kolejnym rozdziale (od strony 190) pokazuje się sztuczkę z wzorami skróconego mnożenia, która rozwiązuje przypadek ogólny. Najpierw dzieje się to na przykładzie konkretnym (liczbowym), potem prezentowane jest to ogólnie. Dopiero gdy wszystko zostało wyprowadzone, na następnej stronie (192) pojawia się żółta ramka, na której niektórzy nauczyciele poprzestają.

Podręcznik Nowej Ery nie jest tak łatwo dostępny. W internecie można łatwo dotrzeć tylko do fragmentów tego podręcznika, ale akurat nie na temat funkcji kwadratowej. Podręczniki Operonu odkładają tematykę funkcji kwadratowej do klasy drugiej szkoły średniej. Fragmenty podręcznika dla klasy pierwszej są dostępne, ale nawet na oficjalnym sklepie Operonu próżno obecnie szukać podręcznika do klasy drugiej.

Jak można dobrze pokazać wzór z deltą?

Jak widziałbym dobre zaprezentowanie wzorów na funkcję kwadratową? Pewnie pracując z uczniami tak, żeby sami wyprowadzili wzór, jakoś tak jak w podręczniku z GWO:

1. Zacząć od najprostszych przykładów typu: $x^2 = 9$ albo $5x^2 + 1 = 26$.
2. Pokazać coś odrobinę trudniejszego jak na przykład: $x^2 + x = 0$.
3. Pokazać sztuczkę z wzorem skróconego mnożenia na przykładzie: $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$. Potem jak to zastosować w rozwiązaniu równania np. $4x^2 + 12x + 5 = 0$.
4. Pokazać uczniom jeszcze kilka przykładów jak z powyższego punktu, żeby sami najpierw zgadywali (na konkretnych przykładach liczbowych) jak zwinąć $ax^2 + bx + c$ do czegoś w stylu $(\heartsuit x + \diamondsuit)^2 + \clubsuit$. Jest jasne, że chcemy $\heartsuit^2 = a$ oraz $2\heartsuit \diamondsuit = b$. To się da nie tylko pokazać jak zrobić, ale wręcz naprowadzać uczniów, żeby oni wymyślili większą część tego samodzielnie, mając jedynie odpowiednią inspirację ze strony nauczyciela.
5. Takie samo rozumowanie przeprowadzić na symbolach, może nawet pozostając przy serduszkach i diamencikach.
6. Dopiero na samym końcu podsumować uzyskane wzory i dodać do tego odpowiedni komentarz, że są one po to, żeby nie trzeba było już tak zgadywać i kombinować (gdybym się odważył to bym może nawet powiedział brzydko, że są po to, żeby nie trzeba było myśleć).

Jeżeli kiedyś znajdę czas, zapewne zrobię o tym film na YouTube, żeby się zachowało na przyszłość.

Podsumowanie

Myślę, że wzory na znajdowanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej są jednym z przykładów, że edukacja szkolna jest (w pewnym zakresie) wadliwa, nawet na późniejszych etapach edukacyjnych. Nie w każdej szkole jest aż tak źle jak napisałem, wierzę, że są nauczyciele, którzy widzą sens w wyprowadzeniu wzorów (najlepiej razem z uczniami). Ale niestety są też nauczyciele, którzy większą wartość widzą w wyższym wyniku egzaminu maturalnego, a tę najłatwiej osiągnąć rozwiązując dużą liczbę zadań na równanie kwadratowe z parametrem.

Nie mogę pojąć, że na szczeblu centralnym, na poziomie rzekomo rozszerzonym promuje się tego typu działania anty-edukacyjne. Jestem w stanie zrozumieć, że na poziomie podstawowym uczniowie mogą mieć wrażenie, że muszą zdać matematykę i nie będą czuli do niej wielkiej sympatii. Niech tacy uczniowie się rzeczywiście po prostu nauczą, na swój sposób. Ale na poziomie rozszerzonym powinno chodzić chyba o coś więcej: wolałbym, żeby zadania egzaminacyjne nie były aż tak przewidywalne. Lepiej byłoby, gdyby szansę na wysokie wyniki na egzaminie mieli uczniowie, którzy rozumieją co robią, a nie wyuczyli się schematu i przerobili dostatecznie dużo arkuszy, żeby wiedzieć, w którym zadaniu co należy zrobić. Na następne zmiany (może czegoś więcej niż tylko kolorków i czcionki) pewnie przyjdzie poczekać do kolejnej zmiany formuły egzaminu. Pytanie tylko czy będą to zmiany na lepsze.

Czytelników, którzy dotarli aż tutaj pytam: czy w Waszej szkole pokazano wyprowadzenie wzorów na pierwiastki równania kwadratowego?