Yahtzee, czyli ja chcę...grać w kosci!

Praktyczna nauka prawdopodobieństwa bez grama hazardu. Czyli w sam raz dla dzieci.

• 21.12.2024
• 16 min czytania

Spis treści

Prawdopodobieństwo uważam za jedną z najbardziej praktycznych gałęzi matematyki, mających zastosowanie w wielu momentach w życiu. Te zastosowania zdają się umykać większości (nie-nerdowskim) ludzi, nawet tym po ukończeniu studiów matematycznych. Komu bowiem nie zdarzyło się oceniać swoich działań jedynie po ich efekcie, a nie ich sensie, mówiąc coś w stylu: Po co jechałem dzisiaj do sklepu przed pracą? Przez to mam teraz porysowany zderzak.

Gra w pokera jest świetnym przykładem praktycznej nauki prawdopodobieństwa. Lepsi gracze w dłuższym terminie wygrywają a słabsi gracze tracą pieniądze. W pojedynczej rozgrywce możliwe jest jednak wygranie pomimo słabej gry. Można też przegrać kilka rozdań (nawet z rzędu) pomimo posiadania najlepszych kart. Niestety, gra w pokera bez pieniędzy nie ma sensu (a gra na pieniądze jest w Polsce w zasadzie nielegalna). Jak więc nauczyć dziecko praktyki prawdopodobieństwa, unikając niechcianego elementu hazardu? Z odsieczą przybywa… gra w kości!

Zasady gry w kości

Do gry potrzebne jest pięć kości oraz tabelka jak poniżej.

Gra trwa zawsze 13 tur. Gracze (może być dowolnie wielu graczy, w szczególności gra ma sens również dla jednego gracza) w każdej turze grają w tej samej, ustalonej wcześniej kolejności. W każdej turze każdy gracz wykonuje jedną rozgrywkę, nikt mu wtedy nie przerywa, aż jego rozgrywka się nie skończy.

W każdej rozgrywce gracz ma trzy próby. W pierwszej turze gracz rzuca wszystkimi pięcioma kośćmi. Może zobaczyć wynik swojego rzutu i następnie wybiera kości, które chce dla siebie zachować (być może żadną, być może wszystkie, być może tylko niektóre). Jeżeli gracz nie zachował sobie wszystkich kości, w drugiej próbie rzuca pozostałymi kośćmi. Ponownie, może zobaczyć wynik swojego rzutu i podjąć decyzję, które kości zachować sobie, a którymi kośćmi rzucić jeszcze raz. Pozostawiony podzbiór kości może być dowolny, można na przykład w trzeciej próbie rzucać kośćmi, które się wcześniej zachowało. Po trzeciej próbie, wszystkie pięć kości (zachowane i rzucone) należy przyporządkować do jednej z trzynastu kategorii w tabelce i wpisać sobie punkty w odpowiedniej komórce zgodnie z punktacją.

Przykładowo: jeżeli gracz w pierwszej turze wyrzucił na kościach wyniki $2, 3, 2, 2, 5$, mógł pozostawić sobie kości $2, 2, 2$ i rzucić dwoma pozostałymi kośćmi jeszcze raz. Powiedzmy, że w tym drugim ruchu na dwóch kościach wypadło $4, 4$. Gracz ma wtedy $2, 2, 2, 4, 4$. Może wtedy zachować sobie wszystkie kości, zakończyć ruch i wpisać sobie punkty za fulla (25 punktów), za dwójki (6 punktów), za czwórki (8 punktów), albo przykładowo za wyrzucenie trzech takich samych kości (14 punktów). Mógłby też jednak, zamiast tego, wykorzystać swoją trzecią próbę i rzucić raz jeszcze dwoma kośćmi z czwórkami. Gdyby gracz wyrzucił na nich powiedzmy $2, 2$, miałby układ $2, 2, 2, 2, 2$ i mógłby sobie wpisać 50 punktów w kategorii za wyrzucenie pięciu takich samych kości.

Kluczowe w grze jest to, że gracz może wpisać sobie punkty w danej kategorii jedynie jeden raz. Wynik ten staje się finalny dla tej kategorii i nie podlega późniejszej poprawie aż do końca gry. Pewnym (bardzo rzadko występującym) wyjątkiem jest tutaj wielokrotne wyrzucenie pięciu takich samych kości, które pozwala zdobyć 50 punktów za pierwszym razem, ale nie blokuje dalszego zdobywania dodatkowej premii 100 punktów za ponowne uzyskanie tego samego układu w innej turze. W przypadku, gdy wyrzucone kości nie spełniają żadnego z warunków dostępnych jeszcze niewykorzystanych układów, gracz musi zdecydować gdzie wpisze sobie 0 punktów (co efektywnie zablokuje mu możliwość późniejszego zdobycia punktów w tej kategorii).

Celem gry jest oczywiście zdobycie jak największej liczby punktów.

Interaktywna, elektroniczna wersja gry

W grę można zagrać online (przeciw komputerowemu przeciwnikowi) pod tym linkiem.

Szczegółowe zasady gry i strategia

Dokładniejsze zasady gry wyszczególnione są na Wikipedii.

Od siebie mogę dodać, że wartość 63 punktów, aby zdobyć bonus za górną sekcję, została dobrana nieprzypadkowo. Jest to trzykrotność sumy $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$. Oznacza to, że ilekroć w górnej sekcji deklarujemy więcej niż trzy takie same kości - jesteśmy na plusie do zdobycia bonusu, zaś jeżeli mniej, to od tego bonusu się oddalamy. Kluczowe jest więc, aby wyrzucić co najmniej trzy szóstki i piątki, trudno jest bowiem odrobić stracone punkty. Z drugiej strony, czasami warto pogodzić się z utratą bonusu i przeznaczyć (aż sześć przecież) kategorii górnej sekcji na nieudane rzuty, żeby nazbierać dużo punktów w dolnej sekcji.

Gra w kości grą umiejętności

Gracz, swoimi decyzjami (do pewnego stopnia) ma wpływ na to, co dzieje się w grze (np. które kości sobie zachowuje, jakie układy próbuje zdobyć najpierw), ale czasami musi pogodzić się z tym, że “kości chciały inaczej”. Na pewne niepowodzenia można się jednak (w początkowej fazie rozgrywki) przygotować, a ryzyko daje się skalkulować. Przykładowo: jeżeli po pierwszym rzucie graczowi brakuje jednej kości do uzyskania fulla (np. wyrzucił ciąg $1, 1, 2, 2, 3$), prawdopodobieństwo, że w następnym rzucie piątą kością wyrzuci fulla wynosi $\frac{1}{3}$. Ale w przypadku porażki (która dzieje się w $\frac{2}{3}$ przypadków) pozostaje jeszcze jedna próba, która ponownie może się udać z prawdopodobieństwem $\frac{1}{3}$. Szansa na wyrzucenie fulla w jednej z dwóch prób jest więc przy tych założeniach (że po pierwszym rzucie brakuje tylko jednej kości do fulla) równe $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{9}$. Wygląda na to, że upłynął nam kolejny dzień z potrzebą używania prostych obliczeń na ułamkach w zastosowaniach przy prawdopodobieństwie.

Jeszcze inaczej można na to spojrzeć tak, że porażkę w jednym rzucie odnosimy w $\frac{2}{3}$ przypadków, więc próbując dwa razy dostajemy dwie porażki z prawdopodobieństwem $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$, a więc chociaż raz udaje nam się w pozostałych $1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ przypadków.

Praktyczna nauka prawdopodobieństwa

Grę pokazałem mojemu ambitnemu synowi w wieku szkolnym, z którym wspólnie uczymy się matematyki co jakiś czas. Syn zobaczył już najbardziej podstawowe reguły prawdopodobieństwa i potrafi (z moją pomocą) przeanalizować proste drzewo gry. Wydaje mi się, że główna trudność tej gry, podobnie jak w pokerze, wcale nie leży w obliczeniu ułamków reprezentujących prawdopodobieństwa oczekiwanych przez siebie zdarzeń, ale interpretacji tychże. Syn, po tym jak wspólnie policzyliśmy prawdopodobieństwo $\frac{5}{9}$ na wyrzucenie fulla, był bardzo zdziwiony, że to się nie stało. Podobnie zdziwiony był, gdy już za pierwszą próbą wyrzucił dużego strita, bo intuicyjnie czuł, że powinno się to dziać bardzo rzadko. A przecież właśnie na tym polega praktyka prawdopodobieństwa: jeśli coś dzieje się z prawdopodobieństwem $\frac{5}{9}$, to całkiem często (z prawdopodobieństwem $\frac{4}{9}$) dane zdarzenie się nie wydarzy. To może oczywiste, ale jest bardzo nieintuicyjne i wręcz irytujące, nawet dla ludzi, którzy potrafią to wszystko dokładnie policzyć. Do dzisiaj pamiętam moje emocje, gdy w ostatnich dwóch rozdaniach gry w pokera (na pieniądze z Monopoly rzecz jasna!) dostałem na ręce parę asów (tak, dwa razy z rzędu) i przegrałem wszystko przeciw dużo słabszym układom mającym około 20 procent prawdopodobieństwa na pobicie mnie. Irytacja irytacją, ale było na to przecież około 4 procent szans. A więc raz na dwadzieścia pięć razy tak może się stać. No i właśnie się stało. Życie czasami daje prztyczka w nos w najmniej spodziewanym momencie. Zupełnie tak samo działa zaparkowanie samochodu na parkingu: tam też szansa, że akurat dzisiaj ktoś obetrze nam bok jest minimalna. A jednak raz na jakiś czas takie obcierki parkingowe się zdarzają i w dłuższej perspektywie wręcz spodziewane.

Gra spodobała się już mojemu sześcioletniemu synowi. Nie planowałem w ogóle pokazywać mu gry, ale jak zobaczył kolorowe kostki, którymi bawiłem się ze starszym synem, nie widziałem powodu, żeby zatajać przed nim, po co one były. Co prawda nie podjąłem się tłumaczenia młodszemu strategii gry, używając do tego metod probabilistycznych, ale zrozumiał (i bardzo szybko zapamiętał) zasady w lot. Jak się później okazało, pokazanie gry tak młodemu dziecku absolutnie też ma sens (Czytelniku, czytaj dalej).

Dlaczego to ważne?

Uważam, że intuicyjne rozumienie prawdopodobieństwa w życiu jest o wiele ważniejsze niż umiejętność jego dokładnego obliczania. Człowiek, gdy zastanawia się czy dobrze zrobił, nie powinien tylko analizować efektów jego działań, bo te zależą tylko częściowo od samego działania, a trochę od szczęścia. Rozkręcanie kolejnej pizzerii w centrum dużego miasta być może jest dobrym, a być może złym pomysłem, ale efekt zależy nie tylko od starań restauratora, ale również od czynników niezależnych od niego (takich jak to, czy zakładanie pizzerii nie wypadnie na czas COVID-19). Nie można więc trywialnie oceniać, że jeśli czyjś biznes upadł, to stało się tak dlatego, że był to zły pomysł lub że człowiek, który ów biznes rozkręcał, nie wiedział jak to zrobić poprawnie.

W życiu zdolnego dziecka też przychodzi do wielu decyzji: czy warto poświęcić kilka lat swojego życia na uczenie się konkretnej dziedziny nauki, stawiając sobie za cel, żeby osiągnąć sukces w Olimpiadzie? Czy pierwsza porażka ma go przekonać do tego, że nie warto było? Niekoniecznie, podobnie jak to, że nie każdy sukces automatycznie oznacza, że uczeń jest genialny.

Nie można też przesadzić w drugą stronę: to też nie jest tak, że w życiu nie warto się starać, bo nic od nas nie zależy. Jakkolwiek na pewne zdarzenia losowe nie mamy wpływu i nie zawsze da się przed nimi obronić, w dłuższej perspektywie najczęściej jest tak, że ludzie dlatego są mądrzy, bo się dużo uczyli, dlatego są bogaci, bo byli przedsiębiorczy lub udało im się posiąść fach, który przynosi duży zysk. Wiadomo, że jednym wiatr sprzyjał bardziej, innym mniej, ale do pewnego stopnia w życiu można sobie ciężką pracą próbować coś wywalczyć. Ta nauka wydaje mi się wartościowa. I dokładnie tak samo działa gra w kości (lub gra w pokera): w dłuższej perspektywie lepsi gracze częściej wygrywają, ale (raz na jakiś czas) nawet perfekcyjnie grający może przegrać z kimś kto dopiero zrozumiał zasady. Matematyka dostarcza nawet narzędzi do badania jak często takie zjawiska będą się działy.

Jedną ze spraw, które bardzo irytują mnie w dużej części społeczeństwa jest skrajna dwubiegunowość myślenia o jakimkolwiek ryzyku: od skrajnej awersji, uniemożliwiającej skorzystanie z niezłych okazji (gdy ryzyko jest małe, a potencjalna nagroda bardzo duża) do bezmyślnego tolerowania nieakceptowalnego ryzyka przy małej nagrodzie. Popularność zdobyły przecież bardzo głupie tekściki o prawdopodobieństwie takie jak:

• Lepszy wróbel w garści niż gołąb na dachu.
• Szansa jest pół na pół, albo się uda, albo się nie uda.
• Kto nie ryzykuje, ten nie pije szampana.

Pierwsze “przysłowie” doradza wstrzemięźliwość w dokonywaniu niepewnych akcji, drugie w idiotyczny sposób szacuje prawdopodobieństwa zdarzeń (gdyby tak myśleć, to wszyscy już byśmy umarli, bo przecież w każdej sekundzie jest szansa pół na pół, że umrzemy: albo umrzemy albo nie), a tekst z trzeciej kropki powyższej listy doradza ryzykować zawsze. To jak to w końcu jest? No właśnie to zależy: od tego ile można wygrać, ile stracić i jak bardzo prawdopodobne jest, że wygramy albo stracimy. Bez oszacowania wszystkich tych parametrów, trudno powiedzieć, czy ryzyko się opłaca. Jeszcze raz, ostatni już raz, powtarzam: ryzyko opłaca się nie wtedy, gdy przyniosło nagrodę, ale gdy odpowiednia miara probabilistyczna, o którą nam chodzi (wartość oczekiwana albo prawdopodobieństwo, że na końcu będziemy mieli co najmniej $X$ punktów/złotych/domów/Ferrari na podjeździe) jest odpowiednio wysoka.

To straszne, że człowiek zastanawiający się nad ważnymi decyzjami w jego życiu nie myśli właśnie w tak racjonalny sposób jak opisałem. Decyzje podejmują emocje, intuicja lub wsparcie od innych osób rzucających teksty jak z listy powyżej na lewo i prawo. Jako społeczeństwo bylibyśmy w innym miejscu rozwoju, gdybyśmy najważniejsze decyzje podejmowali optymalnie.

Dobre ryzyko

Mój dobry kolega, czytelnik tego bloga, doradził mi, abym napisał czym jest opłacalne ryzyko. On też zauważył, że znaczna część społeczeństwa, nawet ta, która zna odpowiednie matematyczne tło tematów związanych z prawdopodobieństwem, ma problem z odróżnieniem dobrego i złego ryzyka.

Weźmy przykład: Czytelniku, proponuję Ci grę. Rzucamy typową kostką i jeżeli wypadnie szóstka, daję Ci złotówkę. Jeżeli zaś wypadnie coś innego, płacisz mi złotówkę. Czy opłaca się przyjąć moją propozycję? Zapewne odpowiesz, że się to nie opłaca i masz wtedy rację: szansa na wyrzucenie szóstki jest dużo mniejsza niż szansa na wyrzucenie innego wyniku. Nie opłaca się więc przyjąć tego ryzyka.

No dobrze, a gdybym zmienił zasady: za szóstkę płacę tysiąc złotych, a za inny wynik Ty tracisz tylko złotówkę? Teraz brzmi to już znacznie lepiej: rzeczywiście szansa wyrzucenia szóstki jest dość mała, ale nagroda jest dużo bardziej atrakcyjna (przy nadal bardzo niskiej cenie zakładu). Raz na jakiś czas przecież zdarzyło Ci się wyrzucić szóstkę w dowolnej grze planszowej?

To gdzie w takim razie leży granica? Kiedy się opłaca? Jedną z metod jest obliczenie wartości oczekiwanej zysku: w $\frac{1}{6}$ przypadków wygrywasz $X$ złotych, a w pozostałych $\frac{5}{6}$ przypadków tracisz złotówkę. Opłaca się grać, gdy średni zysk z jednej próby jest dodatni, czyli gdy $\frac{1}{6}X - \frac{5}{6} > 0$, a więc gdy $X > 5$ (czyli wtedy, gdy zaproponuję za szóstkę co najmniej pięć złotych dla Ciebie). Jasne, takie rzeczy są nawet na podstawowych przedmiotach na studiach jakkolwiek związanych z matematyką, a może i nawet w dobrych liceach. Ale w praktyce kto tak do tego podchodzi? Wszystko zamyka się na czymś w stylu: Nie, bo jeszcze stracę albo Dobra, lubię takie ryzyko, zagrajmy. To bardzo nieoptymalny sposób podejmowania decyzji.

Tutaj jeszcze malutki wtręt “ekonomiczny”: wartość oczekiwana finansowego zysku niekoniecznie jest dobrym pomysłem do analizy opłacalności jakiegoś działania. Powiedzmy, że bank inwestycyjny proponuje Ci następującą grę: rzucamy kostką 20-ścienną i jeżeli wypadnie dwudziestka to bank płaci Ci dwadzieścia milionów złotych, a w przeciwnym przypadku tracisz “tylko” milion złotych. Przeliczenie wartości oczekiwanej daje nam $\frac{1}{20} \cdot 20\ 000\ 000 - \frac{19}{20} \cdot 1\ 000\ 000 = 50\ 000$, a więc teoretycznie by wychodziło na to, że się opłaca (jedna gra pozwala średnio być pięćdziesiąt tysięcy na plusie). W praktyce jednak, mało kto byłby skłonny przyjąć taki zakład: strata miliona złotych to dla większości społeczeństwa prawie niespłacalny dług do końca życia i pogrążenie swojej rodziny w problemach finansowych na lata. Zysk dwudziestu milionów, który dzieje się jedynie w jednym przypadku na dwadzieścia, nie jest (moim zdaniem) wystarczającą rekompensatą, żeby uzasadnić sens wejścia w tę grę. Wydaje mi się jednak, że matematyka się spina, gdy wprowadzimy ekonomiczne pojęcie użyteczności pieniądza: użyteczność plus dwudziestu milionów złotych jest oczywiście bardzo dodatnia, ale nie aż tak bardzo, żeby zrównoważyć bardzo ujemną użyteczność minus miliona złotych. I wtedy możemy liczyć wartości oczekiwane, ale nie bezpośrednio z finansowych wartości, a z przeliczonych wartości użyteczności pieniędzy. Wydaje mi się, że ma to sens zarówno z matematycznego jak i praktycznego punktu widzenia.

Optymalna strategia gry

A co to w ogóle znaczy grać optymalnie w kości? Jakąś miarą mogłaby być wartość oczekiwana uzyskanego wyniku w punktach (miałoby to największy sens w przypadku gry jednoosobowej) lub maksymalizacja prawdopodobieństwa wygranej przeciwko innemu graczowi (znając jego kartę z wynikami, można wyznaczyć optymalny swój ruch, który daje największe prawdopodobieństwo na zakończenie gry z wynikiem większym niż wynik przeciwnika).

Rozważanie z maksymalizacją wartości oczekiwanej udało się skomputeryzować. Chętni do tego, żeby sprawdzić o ile grają gorzej niż optymalny komputerowy przeciwnik mogą spróbować swoich sił tutaj. Skrypt pozwala najpierw rozegrać grę, a następnie (po kliknięciu przycisku Analyse) wyświetla o ile punktów (średnio) można było zagrać lepiej w każdej turze.

Komputerowe wyznaczanie optymalnej strategii gry

Ten cały skrypt to jakaś magia, prawda? Nie do końca: stanów w grze jest w sumie nie aż tak dużo: na $2^{13} = 8192$ sposobów można wybrać, które kategorie są już zapełnione, na $64$ sposoby można wybrać ile punktów ($0, 1, 2, \ldots, 63$) pozostało graczowi do uzbierania bonusu górnej sekcji oraz wyników rzutów pięcioma kośćmi jest nie więcej (a tak naprawdę to sporo mniej) niż $6^5 = 7776$. Jeszcze pomnożyć razy trzy, żeby odróżnić sytuacje, w których mamy do wykonania odpowiednio: trzy, dwa lub tylko jeden pozostały rzut w turze. Nawet gdyby założyć, że każda z tych kombinacji stanów jest osiągalna (oczywiście tak nie jest), dostaniemy jeszcze rozsądnie małą (dla komputera) liczbę około dwunastu miliardów różnych stanów. Bez żadnych optymalizacji powinno się przeliczyć może w minutę, dwie, a pamięci w rozsądnie dobrym komputerze nie zabraknie, jeżeli będziemy ją marnować jedynie na rzeczywiście istniejące stany gry (lub wykonywali obliczenia w sensownej kolejności, zapominając nieprzydatne w dalszych obliczeniach stany).

Przykładowe zadanie na Olimpiadę Informatyczną (gdybym go teraz tu nie zdradził) mogłoby wyglądać mniej więcej tak: napisz program, który rozegra kilka tysięcy gier w kości i osiągnie sumaryczny wynik co najmniej wartość oczekiwana optymalnego rozwiązania minus jakaś niewielka frakcja wariancji w pojedynczej grze razy liczba rozegranych gier. Byłoby to sensowne zadanie interaktywne: program zawodnika byłby połączony z programem jurorskim, który uczciwie dostarczałby wyników rzutu kością. Stawiam, że znaleźliby się zawodnicy, którzy potrafiliby takie zadanie rozwiązać w czasie zawodów.

Dokładniejsza analiza

Nie byłbym sobą, gdybym zostawił niedokładne oszacowanie liczby istotnie różnych wyników rzutu pięcioma kostkami na poziomie $6^5 = 7776$. Takie obliczenie zlicza wielokrotnie te same wyniki (np. ciągi oczek na kościach $(1, 1, 2, 2, 3)$ oraz $(3, 1, 2, 1, 2)$ oznaczają w istocie ten sam multizbiór wyników, a zostały policzone osobno). Istotnie różnych możliwości jest tak naprawdę znacznie mniej. Jeżeli mamy dziesięć kulek i wybieramy pięć z nich, które pomalujemy na czarno, to możemy to zrobić na ${10 \choose 5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 7 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 2 = 252$ sposoby. Kulki pomalowane na czarno zamieniamy na przegródki: jest więc pięć kulek białych, pomiędzy które włożonych jest jakoś pięć przegródek. I teraz:

• liczba kulek białych, które stoją przed pierwszą przegródką oznacza liczbę kości, na których wypadła jedynka,
• liczba kulek białych, które stoją między pierwszą a drugą przegródką oznacza liczbę kości, na których wypadła dwójka,
• …,
• liczba kulek białych, które stoją za piątą przegródką oznacza liczbę kości, na których wypadła szóstka.

W tym rozumowaniu otrzymujemy przyporządkowanie jeden do jednego (bijekcję): każdemu pomalowaniu kulek odpowiada dokładnie jeden istotnie różny wynik rzutu pięcioma kostkami. Wartość $7776$ na powyższym rysunku można więc zastąpić liczbą $252$ i już program przyspieszył co najmniej trzydziestokrotnie.

Być może stać nas zatem na dodatkowe przeanalizowanie każdego podzbioru pięciu kostek ($\le 32$ możliwości) lub każdego możliwego wpisu do tabelki ($\le 13$ możliwości), żeby brutalną siłą szybkości komputera sprawdzić, który ze stanów daje najlepszy możliwy wynik. No dobrze, trzeba by jeszcze dopracować kilka szczegółów, ale kto się zna, ten już widzi, że byłoby to możliwe.

Wskazówki zastosowania u dzieci

Zejdźmy na ziemię i zastanówmy się jak sześcioletnie dziecko może zyskać na grze w kości. Najpierw byłoby dobrze, gdyby gra mu się spodobała - warto pokazywać tę samą grę na różne sposoby: np. raz jako gra na komputerze, a raz z użyciem fizycznych kostek i kartki papieru. Dla dziecka ta sama aktywność przy innych narzędziach jest czymś zupełnie innym (i być może na nowo ciekawym). Jeśli się odpowiednio długo poszuka, można znaleźć kostki z kropkami, liczbami i innymi symbolami: wtedy podczas gry, gdy trzeba będzie policzyć sumę wszystkich kości, te wszystkie mieszające się ze sobą reprezentacje dziecko będzie musiało rozpracować. Podczas wypełniania górnej sekcji można przypomnieć, że działaniem, które się tak naprawdę wykonuje jest mnożenie (np. trzy czwórki dają $3 \cdot 4 = 12$ punktów). Oczywiście niech papierową tabelkę uzupełnia dziecko (to dodatkowa frajda dla niego i przy okazji trening przed pójściem do szkoły). Doszło już do tego, że syn chcąc ze mną zagrać, przygotował tabelkę samodzielnie. Na końcu gry można próbować dodawać punkty z użyciem kalkulatora (kolejna atrakcja dla dziecka) lub jeżeli dziecko potrafi, niech dodaje kolejne wyniki samodzielnie, w pamięci. Ponieważ wariancja w grze nie jest aż taka mała, a strategie nie są aż takie znowu skomplikowane, jest możliwe, że dziecko z nami raz na jakiś czas wygra.

A później można zostawić braci razem na następną rozgrywkę i rozkoszować się piętnastoma minutami spokoju… no dobrze, rozmarzyłem się, oczywiście, że to nie zadziała, bo zaraz zaczną się kłócić. Moje dzieci nie są niestety aż takie grzeczne, ale dobrze było chociaż pomarzyć.

Podsumowanie

Cieszę się, że udało mi się w końcu napisać i opublikować mój “manifest” o rozsądnym podejściu do prawdopodobieństwa i ryzyka na przykładzie gry w kości. Tak zupełnie na serio, grę prezentowałem też w starszych środowiskach poza rodziną (wśród trzecio- i czwartoklasistów) i tam gra sprawdziła się równie dobrze. Myślę, że właśnie tak powinny wyglądać lekcje matematyki o prawdopodobieństwie. Nauczanie kilku wybranych wzorów i wkuwanie pojęć typu kombinacje bez powtórzeń czy wariacje z powtórzeniami nie jest w istocie nauką o prawdopodobieństwie i nie przybliża naszego społeczeństwa ani do lepszego zrozumienia matematyki ani do lepszego jej stosowania w praktyce. Szkoda, że tak jest, ale świadomi rodzice i nauczyciele (na przykład czytający tego bloga) mogą zaadaptować sensowniejsze techniki na swoich zajęciach. I chyba o to mi w tym wpisie chodziło. Spróbuj zagrać w kości z rodziną w weekend i odkryj czy mam rację.