Dobra książka: George Polya - Jak to rozwiązać?

Krótka recenzja książki o uczeniu matematyki.

• 8.09.2024
• 9 min czytania

Spis treści

Jakiś czas temu czytelnik bloga w komentarzu poprosił mnie o wyrażenie opinii n.t. książki How to solve it? autorstwa znakomitego matematyka George’a Polyi. Ponieważ z książką miałem wcześniej tylko krótką styczność i nie przeczytałem jej do końca, nie mogłem wtedy udzielić dokładnej odpowiedzi. Wakacje są jednak dobrą okazją by nadrobić tego typu zaległości, a czas po wakacjach jest jeszcze lepszy, by opisać swoje wakacyjne odkrycia, co niniejszym czynię.

Jak uczyć matematyki?

Wspominałem już we wcześniejszych wpisach (m.in. tutaj i tutaj), że trudno nauczyć się prawdziwej matematyki w szkole. Powiedziałbym wręcz, że w zasadzie matematyka szkolna jest dla nikogo:

• uczeń słaby, który w pewnym momencie edukacji przepadł i przestał nadążać za coraz bardziej skomplikowanymi problemami wymagającymi technik, których nie ma przetrenowane – raczej nie ma szans skorzytać z typowej edukacji, przynajmniej nie do czasu, w którym samodzielnie lub z pomocą indywidualnego tutora ponownie doskoczy do poziomu szkolnego,
• uczeń zdolny, który chciałby zobaczyć piękno matematyki, często zostanie z poczuciem niedosytu: w każdym zadaniu będzie widział schemat i możliwość poprowadzenia naturalnego, liniowego rozumowania, w którym prawie nie da się “skręcić w złą ścieżkę”, a można co najwyżej popełnić błąd rachunkowy lub zapomnieć o rozpatrzeniu wszystkich przypadków,
• uczeń średni, który po prostu daje sobie radę w szkole, raczej nie zapała miłością do matematyki, często nie widząc ani piękna teoretycznych rozważań ani praktycznych zastosowań typowo obliczeniowych zadań (np. obliczania sumy kwadratów pierwiastów równania kwadratowego).

W książce Jak to rozwiązać? znajduje się opis modelowego nauczyciela, który niestety rzadko materializuje się w szkole. Jest to ktoś kto pokazuje uczniom jak rozumieć, analizować i wreszcie rozwiązywać problemy. Ktoś, kto zadając właściwe pytania potrafi niejako “zakodować” w swoich podopiecznych oglądanie problemów z różnych stron oraz uczy ich wyciągania sensownych wniosków prowadzących do przesunięcia do przodu prac nad trudnym zadaniem.

Przyznaję, że poznałem kilku nauczycieli o tej charakterystyce, ale stało się to dopiero po serii porażek z innymi nauczycielami, przez co było blisko, żebym nigdy nie odkrył, że matematyka mnie interesuje.

Lista pozytywów

Wstęp

Już kilka pierwszych stron książki do mnie bardzo przemawia. Autor zapisał cenne uwagi, z większości których może zdawałem sobie sprawę, ale nigdy nie miałem w głowie tego tak ładnie uporządkowane jak zostało to zapisane. Nie chcę tutaj zamieszczać streszczenia książki, ani nawet streszczenia wstępu. Żeby jednak napisać cokolwiek, wymienię chociaż trzy wnioski, jakie szczególnie zapadły mi w pamięć:

• uczeń powinien doświadczyć tak dużo samodzielnej pracy jak to tylko możliwe (brak lub za mało pomocy ze strony nauczyciela pozostawi problem nierozwiązany i uczucie porażki, ale zbyt dużo pomocy spowoduje, że dla ucznia już niewiele zostanie),
• uczniowie (i nauczyciele) nie doceniają wagi etapu rozumienia zadania i próbują od razu przystępować do jego rozwiązania zanim w głowie skrystalizuje się dokładne rozumienie obiektów występujących w zadaniu i zależności między tymi obiektami,
• po rozwiązaniu zadania warto rozważyć, do czego jeszcze można użyć zastosowanych technik, oraz zastanowić się nad modyfikacjami założeń samego zadania: czy tak zmienione zadanie jest łatwiejsze czy trudniejsze od oryginalnego i czy dalej do jego rozwiązania można zastosować te same lub podobne techniki.

Tego ostatniego nie robi prawie nikt. Nie przypominam sobie, aby ktokolwiek (nawet sensowni nauczyciele, których spotkałem na swojej drodze) zachęcali mnie do tego typu rozważań. Nie wiem skąd u mnie się to wzięło, ale dzięki rozważaniom wokół problemów już po ich rozwiązaniu, udało mi się stworzyć całkiem sporo nowych zadań. Jeżeli te okazywały się ciekawe i potrafiłem je rozwiązać, starałem się nimi podzielić proponując je na różnorakie zawody i olimpiady. Zawsze sprawiało mi dużą przyjemność, gdy jakieś moje zadanie zostało użyte na konkursie i decydowało o sukcesie lub porażce zawodników, bardzo przecież zainteresowanych tematem. Myślę, że zawody byłyby jeszcze lepsze, gdyby większa liczba zawodników prowadziła zaawansowane rozważania o zadaniach, które udało im się rozwiązać i częściej przesyłali swoje propozycje zadań dla młodszych pokoleń. Wydaje mi się, że ja również zbyt rzadko przypominam moim uczniom, żeby się nad tym zastanawiali. Wskazówka od Polyi jest więc na wagę złota także w mojej pracy.

Plan na rozwiązanie zadań

Polya opisuje ogólny plan na walkę z problemem matematycznym:

• należy najpierw zrozumieć zadanie,
• ułożyć sobie w głowie sposób rozwiązania,
• wykonać niezbędne obliczenia i przekształcenia zgodnie z wymyślonym pomysłem,
• spojrzeć do tyłu i upewnić się czy jest dobrze.

Ta lista wydaje się może zbyt prosta, zbyt ogólnikowa i chyba każdy mógłby coś takiego napisać. Polya jednak do każdego z powyższych punktów dopisuje dużo dodatkowych kroków i pytań, które się z nimi wiążą, a o których już łatwo zapomnieć.

Autor pisze nie tylko, że trzeba mieć pomysł na rozwiązanie zadania, ale podaje szereg dodatkowych pytań (np. czy widziałeś już podobne zadanie?, skup się na niewiadomej, czy możesz opisać treść zadania innymi słowami?), które pozwalają ten pomysł skonstruować. Kto miał w szkole nauczyciela, który powiedział uczniowi jak wpadać na nietrywialne pomysły? Częściej nauczyciele korzystają z – wydawałoby się atrakcyjnego – konkretu, który mają w dłoni i dają uczniowi pomysł na rozwiązanie zadania na tacy. Królik wyskakuje z kapelusza i widać, że sztuczka działa. Ale dlaczego to działa? I jak na to miałem wpaść? Uczniowie (słabi, średni i zdolni) często zostają sami z takimi pytaniami. Nie każdy potrafi przecież tak dokładnie zwerbalizować swoje uczucia, będąc skupionym na rozwiązaniu kolejnego zadania, żeby nie dostać kolejnej jedynki w szkole.

Cenne wskazówki dla nauczycieli

Kolejnym pozytywem pierwszych stron książki jest pokazanie modelowej dyskusji między nauczycielem a uczniem. Widać, że to co opisuje Polya to nie jest teoretyczne rozważanie jak on sobie wyobraża uczenie kogoś, a że treść dialogu wynika z jego bogatych doświadczeń i kompilacji technik jakie sam wypracowywał w pracy z uczniami i studentami. Ta dyskusja jest o tyle cenna, że pokazuje różne warianty odpowiedzi, zarówno ze strony ucznia (który czasami podchwyci już pierwszą wskazówkę i będzie wiedział jak podążać dalej, a czasami będzie potrzebować dalszej pomocy) jak i nauczyciela (który może dawać wskazówki bardziej ogólne, wręcz powtarzając wielokrotnie to samo pytanie lub dawać konkretniejsze przykłady związane bezpośrednio z rozwiązywanym zadaniem).

Ten fragment jest szczególnie dobrym, konkretnym rozwinięciem myśli o odpowiednim balansie w podpowiedziach nauczyciela do ucznia. Jest też nawiązanie do twierdzenia Pitagorasa i jego złej prezentacji, o czym pisałem jakiś czas temu.

Kształtowanie motywacji u uczniów

Polya pokazuje w książce jak pracować z chętnym uczniem tak, żeby poznawał matematykę i usamodzielnił się w prowadzeniu rozważań nad zadaniami. Autor książki w pewnym sensie pokazuje też, że nauczyciele dysponują narzędziami, które pozwalają rozwijać motywację do uczenia się matematyki u swoich uczniów. Prezentując im odpowiednie zadania, zmuszając ich do odkrywania nowych technik rozwiązywania i pokazując, że zawsze można zadać kolejne pytanie, można zaspokajać głód nowych zadań w nieskończoność. Nie każdy problem uda się rozwiązać od razu, a więc chętny uczeń zawsze będzie miał co robić i nie powinien się nudzić.

Wady książki

Słownik heurystyk

Przy drugiej próbie podejścia do How to solve it? odkryłem, że miałem naturalną ochotę do odłożenia książki dokładnie w tym samym momencie co za pierwszym razem. Tym razem miałem w głowie, że chcę dostarczyć treść na bloga, więc nie pozwoliłem sobie na odpuszczenie, ale nie da się ukryć, że w momencie, gdy kończy się część druga książki, a zaczyna rozdział trzeci, lektura staje się mniej przyjemna.

To dlatego, że autor postanowił wrzucić do jednego worka listę pojęć, nazwisk i meta-technik i rozpisać je dłużej w kolejności alfabetycznej, która jest optymalna z punktu widzenia wyszukiwania w słowniku (jak nazwał ten rozdział autor), ale nieoptymalna z punktu prowadzenia skutecznej narracji dla czytelnika, który dopiero zdobywa wiedzę czytając książkę od początku do końca.

W słowniku znajdują się ciekawe przykłady i opisy, których nie warto pomijać. Ale te wartościowe treści są już teraz w losowych miejscach, a nie wszędzie, jak to było na wstępie. Nie ukrywam, że nie raz odechciewało mi się czytać dalej, a gdybym się poddał to nie dotarłbym do niektórych cennych wniosków takich jak przykładowo podrozdział o notacji matematycznej i wprowadzaniu oznaczeń czy nowe przykłady na dowody nie wprost, które będę mógł prezentować swoim uczniom na lekcjach.

Wtręty filozoficzne i biografie matematyków

W słowniczku (w kolejności alfabetycznej, razem z innymi pojęciami) znajdują się również wrzucone biografie np. Bernarda Bolzano lub Kartezjusza, pytania takie jak czy użyłeś już wszystkich danych? lub, moim zdaniem, czysto filozoficzne wtręty, takie jak czym jest bright idea. Moim zdaniem autor trochę za bardzo zafascynowany jest postaciami niektórych matematyków i momentami “odlatywał”.

Niewykorzystane okazje

Negatywnie zaskoczony byłem rozwinięciem pojęcia o indukcji matematycznej. Jest to zrobione poprawnie, ale bez polotu, na bardzo standardowym przykładzie sprawdzania prostego kombinatorycznego wzoru $1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2$. Stoi to w kontraście do pozostałych miejsc w książce, w których widać było, że autor ma do zaoferowania czytelnikowi coś więcej niż czytelnik sam mógł już wiedzieć.

Wydaje mi się, że lepsze przykłady na to, czym jest indukcja matematyczna, płyną ze świata kombinatoryki, gdzie obok typowego, nudnego rachowania na wzorach można też przy okazji pokazywać rozumowania oparte o różnorakie interpretacje kombinatoryczne. Również w podstawach algorytmiki, gdy wprowadzam uczniom technikę programowania dynamicznego, zdawałem się docierać do lepszych przykładów na dowody z zastosowaniem indukcji matematycznej. Podobnie zresztą przy dowodzeniu poprawności algorytmów zachłannych.

Nie do końca przemówił do mnie też przykład o tym, że żeby niektórych rzeczy się nauczyć trzeba próbować samemu, a nie jedynie o tym czytać lub oglądać jak inni to robią. Autor przytoczył tu analogię z procesem nauki pływania, która moim zdaniem jest tylko częściowo odpowiednia. Rzeczywiście, pierwsze skuteczne pływanie raczej wynika z odpowiednio długiego próbowania aż się uda, a nie z oglądania filmów instruktażowych lub czytania materiałów w internecie. Z drugiej strony, nie wszyscy czytelnicy lub uczniowie w ogóle umieją pływać i mogą tę analogię zrozumieć. W dodatku poprawna, efektywna technika pływania jest nietrywialna i wymaga pewnych podstaw teoretycznych oprócz naiwnego wielokrotnego próbowania. W szczególności nie uważam, żeby krótka teoretyczna edukacja pływania przed przystąpieniem do ćwiczeń była całkowicie pozbawiona sensu. Wydaje mi się, że analogia z nauką jazdy rowerem byłaby bardziej na miejscu.

Lista zadań w wydaniu drugim

Autor pod koniec publikacji zamieszcza listę jego zdaniem ciekawych zadań. Po pierwsze, uważam, że jest ich za mało (dwadzieścia), a po drugie: moim zdaniem (oczywiście subiektywnym, bo jakim innym?) nie wszystkie z nich są naprawdę ciekawe.

Podsumowanie

Uważam, że pierwsze kilkadziesiąt stron tej książki jest znacznie lepsze niż dalsza jej zawartość. Z drugiej strony, nawet te pierwsze strony są już na tyle wartościowe, że poleciłbym tę lekturę. Gdyby nauczyciele matematyki choć trochę zbliżyli się do modelowego nauczyciela opisanego w książce, to uczniom w szkołach żyłoby się znacznie lepiej.