A ma Pan dowód? A właśnie, że mam. Czyli gra w pokrywanie planszy klockami Tetris.
Mini-gra, dzięki której w pięć minut zrozumiesz czym jest dowód matematyczny. Dlaczego tego nie uczą w szkole?
Spis treści
W pewnym wpisie, na przykładzie twierdzenia Pitagorasa, narzekałem na to, że w szkole nie przeprowadza się dowodów podstawowych twierdzeń matematycznych, których się później używa. Wpadłem ostatnio na pomysł jak wytłumaczyć szerokiej publice ideę dowodu matematycznego. Przygotowałem interaktywną prezentację w formie gry komputerowej, której zasad w zasadzie nie trzeba tłumaczyć. W trakcie gry, dosłownie zaraz po osiągnięciu kilku pierwszych sukcesów i zrozumieniu o co chodzi w zagadce, okazuje się, że gracz, zamiast grać w grę, zaczyna pracować nad dowodem, że wygranie jest niemożliwe. Wydaje mi się, że wyszło naprawdę nieźle i tym bardziej jest mi smutno, że takich rzeczy się w szkole nie robi. Ale serce mi się raduje, że kolejne (być może dobre) narzędzie poszło w świat.
Gra
Zanim się rozpiszę, po prostu wrzucam link do gry poniżej.
Nic nie trzeba ściągać, gra uruchamia się w przeglądarce i powinna działać na komputerach, tabletach i komórkach.
Naprawdę nie ma sensu czytać artykułu dalej, jeśli się samemu nie spróbuje zagrać. Czytelnika zachęca się do wygospodarowania sobie pięciu (no dobrze, max. dziesięciu) minut na przejście gry, a następnie do wrócenia na tę stronę.
Dowody w szkole
W szkole podstawowej w zasadzie jest tak, że uczniowie nie doświadczają na matematyce żadnego dowodu. Ani sami nie muszą tych dowodów wymyślać, ani nawet nauczyciele nie wykorzystują okazji i nie pokazują im ich. Na egzaminie ósmoklasisty nie pojawiają się przecież zadania na dowodzenie, a więc naturalnym jest, że ważniejsze jest rozwiązywanie zadań typu Oblicz. Uczniom wydaje się więc, że matematyka służy tylko do obliczania (no i gnębienia).
Wydawałoby się, że w liceum jest już lepiej. Za “moich czasów”, zajęcia matematyki w pierwszej klasie liceum rozpoczynały się od podstaw logiki. W dobrej szkole, do której wtedy chodziłem, można było nawet zobaczyć przykład dowodu nie-wprost (np. że liczba $\sqrt{2}$ jest niewymierna - pamiętam, że zrobiło to na mnie pozytywne wrażenie). Ale nawet tam, większość czasu sprowadzała się do analizy tabelek zero-jedynkowych, które były w programie. Metodą sprawdzenia $2^n$ przypadków ($n$ jest liczbą zmiennych w formule) potrafiliśmy sprawdzić czy dane wyrażenie logiczne jest prawdą dla każdego podstawienia zmiennych logicznych. Nauczyciele w moim liceum akurat naprawdę się starali, przy tej okazji potrafili pokazywać parę ciekawostek i wyjść nieco poza program. Domyślam się niestety, że w mniej elitarnych szkołach wykorzystano tę okazję raz jeszcze do tego, żeby wbić uczniom do głów, że masz takie zadanie, rozpisujesz tabelkę, sprawdzasz i wychodzi.
Niby na maturze pojawiają się zadania na dowodzenie. Nawet na maturze podstawowej:
Zadanie z matury podstawowej z matematyki z 2024.
Jedno tego typu zadanie na cały arkusz warte całe dwa punkty. Ale jakie to jest zadanie na dowodzenie? Równie dobrze to mogłoby być pytanie: Jaką resztę z dzielenia przez 3 daje suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych? No tak, tylko że wtedy zapewne uczniowie jeszcze częściej niż teraz wnioskowaliby na podstawie przykładu. A tak swoją drogą, to totalnie nic złego zacząć od kilku przykładów, żeby nabrać intuicji jak jest. Złe jest tylko jeżeli na tym zakończy się całe rozważanie. Niestety, nauczycielom chyba nie chce się tego fenomenu tłumaczyć uczniom.
Czy naprawdę zadania na dowodzenie zawsze muszą być na zasadzie przekształć wyrażenie algebraiczne z jednej postaci do drugiej? Ja pokazałem na przykładzie tej mini-gry, że można coś udowodnić bez znajomości algebry.
A może to po prostu za trudne?
No dobrze, ale przecież nie każdy jest taki mądry, żeby to wszystko zrozumieć, a co dopiero wymyślić. Zgadzam się, że być może nie można wymagać od uczniów mało zainteresowanych matematyką, nawet tych z ostatnich klas liceum, żeby tego typu rozumowania (jak w zaprezentowanej grze) wymyślali samodzielnie. Ale to nie oznacza, że takich rozumowań nie są w stanie chociaż zrozumieć i za nimi jako tako podążać.
We wpisie o stadiach rozwoju wg Piageta, wspominałem o teoriach rozwoju człowieka. Według tych teorii, umiejętności formalnego rozumowania zdobywa się przeciętnie w wieku około 13 lat. Wydaje mi się, że szósta-siódma klasa podstawówki to byłby idealny moment, żeby takie rozumowania prezentować. Żeby uczniowie chociaż wiedzieli, że matematyka dostarcza narzędzi do odróżnienia ja nie potrafię od tego nie da się zrobić. Jestem przekonany, że znajdzie się (wcale nie aż tak mała) rzesza uczniów, którzy może i mają problemy z działaniami na ułamkach czy procentach, ale na których zrobiłoby to wrażenie. Nawet jeżeli tylko pół zrozumieją, a pół wypadnie z głowy po wyjściu z sali – i tak warto dać im szansę na pozytywne emocje związane z matematyką i choćby zrozumienie, że matematyka to nie tylko obliczanie, a jedno z najlepszych narzędzi do tego, żeby nauczyć się zdolności logicznego rozumowania.
Praktyka w przypadku moich dzieci
Zaprezentowana przeze mnie gra w układanie klocków jest sensowna nawet dla cztero- czy pięciolatków. Nie podjąłem się próby tłumaczenia mojej czteroletniej córce, dlaczego trzeciej zagadki nie da się rozwiązać. Ale ciekawie było obserwować jak od razu wie, gdzie powinno się włożyć najmniejszy klocek w pierwszej zagadce. Strasznie mnie intryguje, z czego bierze się ta umiejętność u ludzi. Drugi poziom sprawił córce więcej problemów, ale z małą pomocą też była w stanie go rozwiązać.
Mój ośmioletni syn zrozumiał ten dowód. Trenujemy matematykę dość intensywnie i (być może naturalnie, a być może dzięki mnie) chłopak ją bardzo polubił. Nie sądzę, aby to, że dziecko znacznie młodsze niż 13 lat było w stanie coś takiego zrozumieć było bardzo rzadkie. Odpowiednio duża liczba doświadczeń, podawanych stopniowo, w odpowiednich odstępach czasu. To po prostu musiało to w końcu zadziałać. Nie zaskakuje mnie, że uczenie się działa (materiału odrobinę trudniejszego niż bieżący poziom wiedzy i umiejętności, co oczywiście ten poziom w przyszłości podbija). Piaget zadałby tutaj pytanie Po co to wszystko przyspieszać? Nie wiem co mógłbym mu na to odpowiedzieć. Nie jestem pewien co z tego wyjdzie, ale na razie po prostu czerpiemy radochę z tego, że razem się uczymy. To chyba nic złego.
Zastosowania gry
Zdecydowanie zachęcam nauczycieli matematyki w szkołach podstawowych, żeby zaryzykowali i spróbowali pokazać ten dowód u siebie w szkole. Bardzo byłbym ciekawy, na ile to jest ciekawe dla dzieci bardziej typowych niż moje.
Na bazie tej gry można po prostu zrobić zajęcia: albo w formie uruchomienia gry na tablicy multimedialnej/rzutniku, albo poprzez wycięcie klocków z odpowiednio grubej tektury i użycia takiej samej tektury jako planszy, gdzie można kłaść klocki. Tutaj zauważę tylko, że ten sam dowód przechodzi również wtedy, gdy klocki (jak w prawdziwym życiu) można przewracać na drugą stronę, a więc nie ma ryzyka, że dzieci nas tym zaskoczą. Łatwo jednak wymusić, żeby klocków nie dało się obracać (wystarczy pokolorować klocki, ale tylko z jednej strony).
Konkretne zajęcia w szkole
Na kółku matematycznym w szkole zadanie zaprezentowałem za pomocą tekturowych szablonów. Najpierw trzeba się upewnić, że dzieci rozumieją zasady gry i że odniosą na zajęciach choć mały sukces. Można to osiągnąć na przykład za pomocą poniższej zagadki:
Pierwsza zagadka, bardzo łatwa do rozwiązania.
Następnie można przejść do właściwej zagadki:
Druga zagadka, tym razem nie da się jej rozwiązać.
Zwracam tutaj uwagę na to, że druga plansza jest od razu pomalowana w szachownicowy wzór. Przyznam, że trochę zdziwiło mnie to, że nikt mnie nie zapytał, dlaczego ta plansza jest pomalowana jak szachownica, a tamta wcześniejsza nie była. Zapewne wielu uczniów będzie chciało rozwiązać zagadkę, ja pozwalałem spróbować każdemu kto chciał. Nauczyciel co prawda wie, że to próbowanie udać się nie może, ale uczniowie tego nie wiedzą, a ich emocje są również ważne. Być może w trakcie tego nieudanego próbowania, ktoś zasugeruje, że zagadki nie da się rozwiązać. Warto wtedy zapytać czy nikt nie potrafi to dobre uzasadnienie, że nie da się.
Gdy każdy chętny spróbuje poprzestawiać klocki choć przez chwilę, nadchodzi czas, żeby zaprezentować dowód. Tutaj moja podstawowa porada: nie warto ogłaszać uczniom, że zagadki nie da się zrobić. Jeżeli tak się zrobi, odpowiedź została podana na tacy i tylko nieliczni dotrwają do uzasadnienia. Lepiej powiedzieć coś w stylu: Przeanalizujemy sobie teraz to zadanie, zanim spróbujemy je rozwiązać. Myślę, że warto dać tutaj też uczniom pole do popisu i zapytać ich, czy zadanie dałoby się rozwiązać, mając pięć identycznych kwadratów $2 \times 2$ (zamiast klocków Tetrisa) i jeden kwadracik 1x1 (czyli użyć takiego samego zestawu jak w zagadce pierwszej). Uczniowie od razu powinni zauważyć, że nie da się zmieścić $21$ kwadracików, jeżeli plansza ma tylko $4 \cdot 5 = 20$ kwadracików do zapełnienia. Naturalnym krokiem jest wtedy zapytać, co by było, gdyby zabrać ten kwadracik 1x1 (czyli gdyby próbować pokryć szachownicę pięcioma kwadratami $2 \times 2$). Zagadki również nie da się rozwiązać, a poprzedni, narzucający się argument z polem powierzchni już nie działa, ale uzasadnienie jest nadal w zasięgu uczniów. Łatwo zauważyć, że plansza ma szerokość 5, a każdy klocek zużywa dwie jednostki szerokości.
Po tych rozważaniach można wrócić do oryginalnej zagadki (z pokrywaniem szachownicy $4 \times 5$ klockami Tetrisa) i zasugerować, żeby skupić się na ciemnych polach na planszy. Następnie zacząć analizować kolejno liczbę ciemnych pól, które są przykrywane przez kwadrat, pasek $4 \times 1$, klocek w kształcie litery L, klocek w kształcie litery S/Z (albo raczej błyskawicy, jak to zauważyli moi uczniowie). Klocek w kształcie T najlepiej zostawić na sam koniec, wcześniej podsumowując, że układając te cztery klocki mamy już przykryte 8 ciemnych pól na planszy, a więc zostały jeszcze dwa do przykrycia. Wtedy dobrze to kontrastuje z tym, że klocek T przykrywa albo jedno albo trzy pola. Całość można spokojnie zrealizować w czasie jednych, 45-minutowych zajęć, nawet licząc ze sprawdzeniem obecności.
Takich przykładów, że czasami czegoś się nie da, ale trudno powiedzieć dokładnie dlaczego, a także przykładów, że czasami się tylko wydaje, że się nie da, a jednak się da (i dlatego właśnie dowody są tak bardzo potrzebne), mógłbym podawać więcej. Zapewne napiszę o tym niebawem w kolejnej części tego cyklu.
Ciekawostki programistyczne
Przygotowanie tej gry zajęło mi dwa poranki. Nie znam się zbyt dobrze na front-endzie, ale okazało się, że ChatGPT jest naprawdę dobry w te sprawy. Powiedziałbym, że jakieś 80% kodu wygenerował czat. Jakość tego kodu pozostawia oczywiście bardzo wiele do życzenia, szczególnie w połączeniu z moim (wcale nie lepszym) innym stylem, który dołożyłem swoimi wstawkami i trochę zmieniającymi się wymaganiami w trakcie pisania. Ale tak czy siak, dużo łatwiej jest dostać gotowy, prawie działający kod i go potem trochę poprawić, niż używać Google’a lub Stack Overflow tak jak kiedyś. Jasne, czatowi zdarzyło się zrobić parę błędów. Niektóre poprawił sam, gdy zwróciłem mu uwagę, a niektóre poprawiłem ja. Gdyby nie było czata, stworzenie tej gry zajęłoby mi znacznie więcej czasu. A tak, dość szybko miałem coś co działa i wystarczyło chęci, żeby jeszcze chociaż spróbować pogmerać w CSSach, żeby ta “gra” jakkolwiek działała zarówno na komórce jak i na komputerze. A czy zrobiłbym sam kod lepszej jakości? Może tak, a może nie. Nie wiem, nie mam czasu, żeby to sprawdzić.